Reviz.fr - fiches de cours & exercices corrigés - soutien scolaire gratuit sur internet

Publicité

Reviz.fr - soutien scolaire sur internet accueil   >>   terminale   >>   mathématiques   >>   Les nombres complexes   

Exercices corrigés

Chapitre Les nombres complexes
Soutien scolaire gratuit sur internet

Exo n° 1 - Addition

Calculer (2 + 3i) + (-3 + 2i).

(2 + 3i) + (-3 + 2i) = 2 + 3i - 3 + 2i
(2 + 3i) + (-3 + 2i) = 2 - 3 + 3i + 2i
(2 + 3i) + (-3 + 2i) = -1 + 5i



Exo n° 2 - Multiplication

Calculer (3 + i).(-2 -3i).

(3 + i).(-2 -3i) = -6 - 9i - 2i + 3
(3 + i).(-2 -3i) = -3 - 11i



Exo n° 3 - Multiplication et complexe conjugués

Calculer (2 + 4i).(2 - 4i).

(2 + 4i).(2 - 4i) = 4 - 8i + 8i + 16
(2 + 4i).(2 - 4i) = 20
La multiplication d'un complexe par son conjugué donne toujours un réel.



Exo n° 4 - Se débarrasser d'un i au dénominateur

Modifier 1/{3 + i} pour obtenir un nombre complexe sous la forme z = a + bi.

Pour se débarrasser du i au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué de (3 + i), c'est-à-dire par (3 - i).
1/{3 + i} = {3 - i}/{(3 + i).(3 - i)}
1/{3 + i} = {3 - i}/{9 - 3i + 3i + 1}
1/{3 + i} = {3 - i}/10
On retrouve bien la forme z = a + bi avec a = 3/10 et b = {-1}/10.



Exo n° 5 - Complexes conjugués

Calculer overline{(5-2i).(-2+3i)}.

overline{(5-2i).(-2+3i)} = overline(5-2i). overline(-2+3i)
overline{(5-2i).(-2+3i)} = (5 + 2i).(-2 - 3i)
overline{(5-2i).(-2+3i)} = -10 - 15i - 4i + 6
overline{(5-2i).(-2+3i)} = -4 - 19i



Exo n° 6 - Produit de complexes conjugués

Calculer (5 + i).(5 - i).

D'après le cours :
(5 + i).(5 - i) = 52 + 12 = 26



Exo n° 7 - Carré d'un complexe

Calculer (2 + 3i)2.

On applique la formule valable dans bbR :

(a+b)2 = a2 + b2 + 2ab


(2 + 3i)2 = (2)2 + (3i)2 + 2x2x3i
(2 + 3i)2 = 4 - 9 + 12i
(2 + 3i)2 = -5 + 12i



Exo n° 8 - Ramener une expression à la forme z = a + bi

Ecrire 1/i sous la forme z = a + bi.

Pour supprimer le i du dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué, c'est-à-dire -i.
1/i = {-i}/{(i).(-i)}
1/i = {-i}/{1}
1/i = -i
On retrouve la forme z = a + bi avec a = 0 et b = -1.



Exo n° 9 - Déduire z

On sait que i overline{z} = 5 - 3i.
Combien vaut z ?

i overline{z} = 5 - 3i d'où overline{z} = {5 - 3i}/{i}
On fait disparaître le i du dénominateur en multipliant par (-i).
overline{z} = {(5 - 3i).(-i)}/{(i).(-i)}
overline{z} = {-5i - 3}/{1}

overline{z} = -3 - 5i donc z = -3 + 5i



Exo n° 10 - Résolution d'un polynôme complexe

Résoudre dans bbC : z2 - z + 1 = 0

Delta = b2 - 4ac = (-1)2 - 4 = -3
Delta < 0 donc il n'y a pas de solutions réelles, mais 2 solutions complexes :
z1 = {-b+~i sqrt{-Delta}}/{2a} = {1+~i sqrt{3}}/{2}

z2 = {-b-~i sqrt{-Delta}}/{2a} = {1~-~i sqrt{3}}/{2}



Exo n° 11 - Complexes, vecteurs et géométrie

Dans le plan complexe, on définit 4 points par leurs affixes :
A d'affixe zA = 1 + i
B d'affixe zB = -1 + 3i
C d'affixe zC = 3 + 3i
D d'affixe zD = 5 + i
Calculer les affixes des vecteurs vec{AB} et vec{CD}.
Que peut-on dire du quadrilatère ABCD ?

affixe de vec{AB} = zB - zA = (-1 + 3i) - (1 + i) = -2 + 2i
affixe de vec{CD} = zD - zC = (5 + i) - (3 + 3i) = 2 - 2i

vec{AB} = - vec{CD} d'où vec{AB} = vec{DC}
Les côtés opposés AB et DC du quadrilatère ABCD sont 2 vecteurs égaux. ABCD est donc un parallélogramme.



Exo n° 12 - Module d'un complexe

Quel est le module de 1 + i sqrt{3} ?

D'après le cours :
| 1 + i sqrt{3} | = sqrt{1^{2} + sqrt{3}^2} = sqrt{4} = 2



Exo n° 13 - Forme trigonométrique

Ecrire z = 3 + 2i sous sa forme trigonométrique.

Le module de z est |z| = sqrt{3^{2} + 2^{2}} = sqrt{13}

Calculons à présent l'argument de z. D'après le cours, si la forme algébrique de z est a + bi, on a :
cos varphi = a/{|z|} = 3/{sqrt{13}}

sin varphi = b/{|z|} = 2/{sqrt{13}}
Avec la calculatrice, on déduit que varphi approx 0,59 rad

La forme trigonométrique de z est donc

z = sqrt{13} ( cos varphi + sin varphi ) avec varphi approx 0,59 rad




<< fiche précédente
Interprétations géométriques



Reviz.fr - soutien scolaire sur internet accueil   >>   terminale   >>   mathématiques   >>   Les nombres complexes