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Module et argument d'un nombre complexe

Chapitre Les nombres complexes
Soutien scolaire gratuit sur internet

Module d'un complexe

 Définition

Soit z = a + bi un complexe (a et b réels).
On appelle module de z le réel positif, noté |z| défini par

|z| = sqrt{a^{2}~+~b^{2}}


Remarque : si z = a (réel), le module de z est la valeur absolue de a : |z| = |a|

 Interprétation géométrique

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O vec{e_1}vec{e_2}).
Soit vec V le vecteur image de z. Soit M le point image de z.

module-complexe       |z| = || vec V || = OM

 Propriétés

Pour tout complexe z, |z|2 = z overline{z}
Soient les points A d'affixe zA et B d'affixe zB.
vec{AB} a pour affixe zB - zA donc :

| zB - zA | = AB

Pour tout complexe z :

|z| = 0 doubleleftright z = 0

 Inegalité triangulaire

inegalite-triangulaire-complexe

Soient z et z' deux complexes quelconques.
Soit M le point image de z et M' celui de z'.
Soit S le point image de z + z'.
On a OS le OM + OM' donc :

| z + z' | le |z| + |z'|

 Module d'un produit, d'un quotient, d'une puissance

Pour tous complexes z et z' : |zz'| = |z|.|z'|
Si z ne 0 :

delim{|}{z/{z prime}}{|} = {|z|}/{|z prime|}             |zn| = |z|n

Argument d'un complexe non nul

 Définition

Le plan est muni d'un repère (O vec{e_1} vec{e_2}).
Soit z un complexe non nul, de point image M.
On appelle argument de z une mesure en radians de l'angle ( hat{vec{e_1},vec{OM}}).
argument-complexe
On note :

arg z = ( vec{e_1} , vec{OM})       (2 pi)

(2 pi) se lit "modulo 2 pi" et peut-être remplacé par + 2k pi, avec k entier.

 Propriétés des arguments

Soit z un complexe non nul.

z réel doubleleftright arg z = k pi, k in bbZ

z in bbR+* doubleleftright arg z = 0       (2 pi)

z in bbR-* doubleleftright arg z = pi       (2 pi)

z imaginaire pur doubleleftright arg z = {pi}/2 + k pi       k in bbZ



propriete-arguments-complexe

arg (-z) = arg z + pi       (2 pi)

arg ( overline{z}) = arg z       (2 pi)


Pour tous complexes non nuls z et z':

arg zz' = arg z + arg z' (2 pi)


arg 1/z = - arg z' (2 pi)       arg z/{z prime} = arg z - arg z' (2 pi)


Pour tout n in bbZ, arg zn = n arg z       (2 pi)

 Argument d'une différence et d'un quotient de différences

Soient a et b deux complexes avec a ne b.
Soient A le point image de a et B celui de B.
argument-difference
(b-a) a pour vecteur image vec{AB}.

arg (b-a) = ( vec{e_1}, vec{AB})       (2 pi)


Soit z un complexe différent de a et b, de point image M.
argument-quotient-difference

arg {z-a}/{z-b} = arg {a-z}/{b-z} = ( vec{MB}, vec{MA})       (2 pi)


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