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Exercices corrigés

Chapitre Les primitives
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Le chapitre Les primitives comporte 3 pages de cours ou d'exercices corrigés.
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Exo n° 1 - Trouver la primitive qui s'annule x=a

Quelle est la primitive de f(x) = 3x qui s'annule en 2 ?

f(x) = 3x est une fonction définie et dérivable pour tout réel. Elle est donc intégrable sur bbR.



Pour trouver l'unique primitive de f(x) qui s'annule en 2, tu dois calculer l'intégrale de f(t) entre les bornes 2 et x (on utilise la variable t dans l'intégrale pour ne pas confondre avec la borne d'intégration x).



On obtient :

int{2}{x}{} 3t dt = 3 int{2}{x}{} t dt


int{2}{x}{} 3t dt = 3 [ 1/2 t2 ] matrix{2}{1}{pi 0}


int{2}{x}{} 3t dt = 3 ( 1/2 x2 - 2 )


int{2}{x}{} 3t dt = 3/2 x2 - 6


Maintenant, on vérifie que la fonction trouvée est la bonne.

j(2) = 3/24 - 6 = 0 donc la fonction j(x) s'annule bien lorsque x = 2 et sa dérivée est f(x) = 3x.

Elle est donc solution.



Exo n° 2 - Primitive d'une fonction avec un logarithme

Calculer la primitive de f (x) = 2/{3x-5} pour x in ] 5/3 ; + infty[.


Il faut repérer une fonction u telle que f(x) ressemble à {u prime}/u.

Ici, on peut par exemple poser :

u (x) = 3x - 5 d'où l'on déduit u' (x) = 3


Avec les notations adoptées :

f = 2/3 . {u prime}/u




D'après le cours, {u prime}/u a pour primitive :

right ln u si u > 0 sur I

right ln (-u) si u < 0 sur I



Sur ] 5/3 ; + infty[, 3x + 7 > 0 donc une primitive de f sur ] 5/3 ; + infty[ est :

F(x) = 2/3 ln (3x - 5)



Exo n° 3 - Primitive d'une puissance

Donner une primitive F de f(x) = 2/5 x2 sur bbR.

D'après la formule vue en cours, une primitive de x2 est 1/3 x3.
Une primitive F de f(x) = 2/5 x2 est :
F(x) = 2/5 ( 1/3 x3) = 2/15 x3



Exo n° 4 - Primitive d'un polynôme

Sur bbR, donner une primitive F de f avec :
f(x) = x3 - 2 x2 + 3x - 7

f est une somme de fonctions plus simples. Nous allons intégrer séparément chacune de ces "mini-fonctions".
Une primitive de x3 est 1/4 x4.
Une primitive de - 2 x2 est -2 ( 1/3 x3), c'est-à-dire - 2/3 x3.
Une primitive de 3x est 3( 1/2 x2) = 3/2 x2
Et enfin, une primitive de -7 est -7x.

Au final, en faisant la somme de ces primitives simples, on obtient une primitive de f :

F(x) = 1/4 x4 - 2/3 x3 + 3/2 x2 - 7x



Exo n° 5 - Primitive d'une fraction (avec x au dénominateur)

Sur ] 0 ; + infty[, donner une primitive F de
f(x) = 2/{x^2} - 3/{sqrt{x}}

f est la somme de 2 fonctions dont nous allons calculer les primitives séparément.

2/{x^2} = 2 1/{x^2}.
D'après le cours, 1/{x^2} a pour primitive - 1/x.
Donc 2/{x^2} a pour primitive - 2/x.

D'après le cours, une primitive de 1/{sqrt{x}} est 2 sqrt{x}.
Donc une primitive de - 3/{sqrt{x}} est -3 (2 sqrt{x}) = -6 sqrt{x}.

Au final, en faisant la somme de ces 2 primitives, on obtient une primitive de F sur ] 0 ; + infty[ :

F(x) = - 2/x - 6 sqrt{x}



Exo n° 6 - Primitive avec x au dénominateur

Sur ]- infty;-1[ union ]-1;+ infty[, donner une primitive de f(x) = {-4}/{(x+1)^2}

On pose u(x) = x + 1 et u'(x) = 1.
Avec ces notations, f(x) est de la forme - 4 . {u prime}/{u^2}.
D'après le cours, une possible primitive est :

F(x) = - 4 . {-1}/{x+1} = 4/{x+1}



Exo n° 7 - Primitive d'un produit de sin et cos

Donner une primitive de f(x) = sin3 x cos x sur bbR.

Comme la dérivée de sin x est cos x, on suppose qu'il est possible d'écrire f sous la forme u' un. On pose :
u(x) = sin x
u'(x) = cos x

Avec ces notations, f = u' u3.
D'après le cours, une primitive de f est donc

F(x) = 1/4 sin4 x



Exo n° 8 - Primitive d'une fonction puissance

Calculer la primitive de f(x) = x2.

La fonction f(x) est définie pour tout réel.


D'après la formule donnée dans le cours, si f(x) = xa alors ses primitives sont :

F(x) = 1/{a+1} xa+1 + k
avec k = constante




Ici a = 2 donc F(x) = 1/{3} x3 + k (k réel).




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