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Exercices corrigés

Chapitre Le produit vectoriel
Soutien scolaire gratuit sur internet

Le chapitre Le produit vectoriel comporte 6 pages de cours ou d'exercices corrigés.
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Exo n° 1 - Décomposition d'un produit vectoriel

A, B, C et D sont 4 points de l'espace.
a) Montrer que :
vec{BC} wedge vec{BD} = vec{AB} wedge vec{AC} + vec{AC} wedge vec{AD} + vec{AD} wedge vec{AB}

b) Pour tout point M on définit :
vec{V}(M) = vec{MB} wedge vec{MC} + vec{MC} wedge vec{MD} + vec{MD} wedge vec{MB}
Démontrer que vec{V}(M) est normal au plan (BCD).

a) Le second membre de l'égalité que l'on souhaite démontrer fait intervenir le point A. On va donc décomposer les vecteurs du premier membre en passant par le point A.
vec{BC} wedge vec{BD} = ( vec{BA} + vec{AC}) wedge ( vec{BA} + vec{AD})
On développe cette expression :
= vec{BA}wedgevec{BA} + vec{BA}wedgevec{AD} + vec{AC}wedgevec{BA} + vec{AC}wedgevec{AD}
= vec{0} - vec{AB}wedgevec{AD} - vec{AC}wedgevec{AB} + vec{AC}wedgevec{AD}
= vec{AD} wedge vec{AB} + vec{AB} wedge vec{AC} + vec{AC} wedge vec{AD}

b) A la question a), le point A était un point quelconque du plan donc la formule démontrer pour A est valable pour tout point M de l'espace.
Pour un point A quelconque :
vec{AB} wedge vec{AC} + vec{AC} wedge vec{AD} + vec{AD} wedge vec{AB} = vec{BC} wedge vec{BD}

Donc pour un point M quelconque :
vec{MB} wedge vec{MC} + vec{MC} wedge vec{MD} + vec{MD} wedge vec{MB} = vec{BC} wedge vec{BD}
c'est-à-dire vec{V}(M) = vec{BC} wedge vec{BD}
D'après le cours, vec{BC} wedge vec{BD} est un vecteur normal à vec{BC} et vec{BD}, c'est-à-dire au plan (BCD).
Conclusion : vec{V}(M) ortho (BCD)



Exo n° 2 - Alignement de points

Dans une base (O vec{i~} vec{j~}vec{k}) orthonormale directe, soient 3 points :
A (6 ; 2 ; 4 ), B (2 ; 1 ; 1 ) et C (3 ; 1 ; 2 )
A, B et C sont-ils alignés ?

Si les points A, B et C sont alignés, alors les vecteurs vec{AB} et vec{AC} sont colinéaires et leur produit vectoriel vec{AB} wedge vec{AC} est nul.
Calculons-le.
vec{AB} a pour coordonnées ( -4 ; -1 ; -3 ).
vec{AC} a pour coordonnées ( -3 ; -1 ; -2 ).
vec{AB} wedge vec{AC} = tabular{0000}{101}{{-4} {-3} {-1} {-1} {-3} {-2}}
vec{AB} wedge vec{AC} = ((-1)(-2) - (-3)(-1)) vec{i~} + ((-3)(-3) - (-4)(-2)) vec{j~} + ((-4)(-1) - (-1)(-3)) vec{k}
vec{AB} wedge vec{AC} = - vec{i~} + vec{j~} + vec{k}
Conclusion : vec{AB} wedge vec{AC} <> vec{0} donc les points A, B et C ne sont pas alignés.




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