Exercices corrigés – Calcul intégral | Reviz.fr – Soutien scolaire gratuit

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Que vaut sin x dx ?

Tu dois d’abord t’assurer que la fonction est bien intégrable sur l’intervalle proposé.

Ici, sin x est dérivable sur [ 0 ; ] donc elle est également intégrable sur cet intervalle.

L’une des primitives de sin x est – cos x. Les autres sont de la forme – cos x + k où k est une constante. Tu appliques ensuite la définition de l’intégrale : sin x dx = [ – cos x ]

sin x dx = (- cos ) – (- cos 0)

sin x dx = 1 + 1 = 2

Calcule | x – 2 | dx.

La présence de la valeur absolue est gênante. En effet, sur [0;2], f(x) = | x – 2 | = – x + 2 alors que sur [2;3], f(x) = | x – 2 | = x – 2. f(x) n’a pas la même primitive sur [0;2] et sur [2;3]. Tu peux contourner ce problème en utilisant la relation de Chasles : intégrer f(x) entre 0 et 3 équivaut à faire la somme des intégrales de f(x) sur [0;2] puis sur [2;3]. On obtient :

| x – 2 | dx = | x – 2 | dx + | x – 2 | dx

Sur [0;2], f(x) = – x + 2. Sur [2;3], f(x) = x – 2. On remplace désormais f(x) par son équivalent sans valeur absolue dans chacune des intégrales.

| x – 2 | dx = (-x + 2)dx + (x – 2)dx

On propose ensuite une primitive sur chaque intervalle (la plus simple, sans constante, par exemple).

| x – 2 | dx = [ – x2 + 2x ] + [ x2 – 2x ] | x – 2 | dx =

Calculer e-t dt.

Une primitive de e-t est -e-t d’où :
e-t dt = [-e-t] = -e-1 + 1

Calculer sin t cos t dt.

Sachant que (sin t)’ = cos t, on voit que sin t cos t dt est de la forme u’ u si l’on pose u(t) = sin t.
L’une des primitives de sin t cos t est sin2 t (primitive d’une puissance, voir cours). L’intégrale vaut donc :

sin t cos t dt = [ sin2 t ]

sin t cos t dt = sin2( ) – sin2(0)
sin t cos t dt =

Calculer dt.

On pose f(t) = On cherche F une primitive de f valable sur l’intervalle [1;2].

( )’ = – (dérivée usuelle à connaître, voir cours de première) donc une primitive de f(t) sur [1;2] est F(t) = –

On obtient alors :

dt = [ – ]

dt = – – (-1)
dt =

Calculer ex dx.

Soit f(x) = ex.
Les primitives de cette fonction sont du type F(x) = ex + k (k constante).
Prenons l’une de ces primitives pour résoudre cet exercice, la plus simple par exemple : F(x) = ex. On obtient :

ex dx = [ex]

ex dx = e0 – e-5
ex dx = 1 – e-5

Calculer cos x dx.

Sur [0; ], une primitive de cos x est sin x car (sin x)’ = cos x. On a donc :

cos x dx = [ sin x ]

cos x dx = sin – sin 0

cos x dx = 0 – 0 = 0

Calculer sin x dx.

Sur [0; ], une primitive de sin x est (- cos x) car (- cos x)’ = sin x. On a donc :

sin x dx = [ -cos x ]

sin x dx = – cos – (- cos 0)

sin x dx = 1 – (-1) = 2

Quel est l’ensemble de définition de la fonction f(x) = ln (3x – 1) ?

La fonction ln est définie sur +* donc la fonction f(x) est définie uniquement lorsque 3x – 1 > 0.
3x – 1 > 0 3x > 1
3x – 1 > 0 x >
Df = ] ; + [

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