Exercices corrigés – La fonction logarithme | Reviz.fr – Soutien scolaire gratuit

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Simplifier ln .

Pour simplifier cette expression, on va utiliser les propriétés de la fonction logarithme. D’après le cours :

ln ab = ln a + ln b

et

ln an = n ln a

On applique ces règles :

ln = ln 72 – ln 25

Or 72 = 8 x 9 = 23 x 32

et 25 = 52

D’où ln = ln (23 x 32) – ln 52

ln = ln 23 + ln 32 – ln 52

ln = 3 ln 2 + 2 ln 3 – 2 ln 5

Simplifier A = 2 ln( + 1) + ln( -2 + 3).

A = 2 ln( + 1) + ln( -2 + 3)

A = ln( + 1)2 + ln( -2 + 3)

A = ln( 2 + 1 + 2 ) + ln( -2 + 3)

A = ln( 3 + 2 ) + ln( -2 + 3)

D’après le cours : ln a + ln b = ln ab donc :

A = ln [ ( 3 + 2 ) ( -2 + 3) ]

On développe puis on simplifie le produit des parenthèses pour obtenir : A = ln (9 – 8) A = ln 1

A = 0

Calculer la dérivée de f (x) = ln (x2 + 3x + 2).

On calcule d’abord le domaine de définition de la fonction f. Pour qu’elle soit définie, il faut que l’expression à l’intérieur du logarithme soit strictement positive. Ceci se traduit par :

x2 + 3x + 2 > 0

soit encore :

(x + 1).(x + 2) > 0

Calculons le signe de ce produit de parenthèses, en fonction de la valeur que prend x. –>image

Comme la fonction ln est définie sur ]0;+ [, x2+3x+2 doit être strictement positif pour que f(x) existe.

D’après le tableau de signe précédent, la fonction f est définie sur ]- ;-2[ U ]-1;+ [. Elle est également dérivable sur cet intervalle.

Sachant que la dérivée de ln u est , on calcule :

f'(x) =

Simplifier ln 16.

ln 16 = ln 24
D’après le cours ln an = n ln a donc :
ln 16 = 4 ln 2

Simplifier ln 0,25.

ln 0,25 = ln
D’après le cours, ln = – ln a D’où :

ln 0,25 = – ln 4 = – ln 22 = – 2 ln 2

Quel est l’ensemble de définition de la fonction f avec :
f(x) = ln (5-x)

La fonction logarithme est définie pour tout réel strictement positif. f(x) = ln (5-x) est donc définie lorsque 5-x > 0, soit x < 5.

Conclusion : Df = ] – ; 5 [

Quel est l’ensemble de définition de la fonction f avec :
f(x) = ln x2

f(x) est défini pour tout x tel que x2 > 0.
Conclusion : Df = *

Résoudre dans : a) 5x – 1 = x – 5

b) ln (5x – 1) = ln (x – 5)

a) 5x – 1 = x – 5 4x = -4
5x – 1 = x – 5 x = -1 b) ln (5x – 1) = ln (x – 5)

D’après le cours : ln a = ln b a = b

Dans notre cas, nous devons donc résoudre 5x – 1 = x – 5, c’est-à-dire l’équation de la question a).

Cependant, cette fois-ci, comme l’équation b) fait intervenir des logarithmes, les solutions doivent se trouver dans le domaine de définition des logarithmes ln (5x – 1) et ln (x – 5).

A la question a), -1 était solution. Mais maintenant -1 est hors du domaine de définition de ln (5x – 1) car 5x – 1 < 0 lorsque x = -1. x = -1 n’est pas solution de cette équation.

Conclusion : cette équation n’a aucune solution.

Résoudre dans :
ln (2x+3) 0

ln (2x+3) 0 ln (2x+3) ln 1
Cette inéquation est définie sur D = {x / 2x + 3 > 0 }
D = {x / x > – }
D = ] – ; + [ Dans D :

ln (2x+3) ln 1 2x + 3 1

ln (2x+3) ln 1 x -1

Conclusion : S = [ 1 ; + [

Résoudre dans :
ln (2x+3) 0

ln (2x+3) 0 ln (2x+3) ln 1
Cette inéquation est définie sur D = {x / 2x + 3 > 0 }
D = {x / x > – }
D = ] – ; + [ Dans D :

ln (2x+3) ln 1 2x + 3 1

ln (2x+3) ln 1 x -1

Conclusion : S = [ 1 ; + [

Résoudre ln (x+1) + ln (x+3) = ln (x+7).

Cette équation est définie pour tout x tels que :
x+1 > 0, soit encore x > – 1
x+3 > 0, soit x > – 3
x+7 > 0, soit x > – 7
Ces trois conditions impliquent que D = ] -1 ; + [. Dans cet intervalle,

ln (x+1) + ln (x+3) = ln (x+7) ln [(x+1)(x+3)] = ln (x+7)

ln (x+1) + ln (x+3) = ln (x+7) ln [x2 + 4x + 3] = ln (x+7)
ln (x+1) + ln (x+3) = ln (x+7) x2 + 4x + 3 = x+7
ln (x+1) + ln (x+3) = ln (x+7) x2 + 3x – 4 = 0 Ce polynôme a pour racines x = -4 et x = 1.

Or, x = -4 D donc seul x = 1 est solution.

Conclusion : S = {1}

Quel est l’ensemble de définition de f(x) = ln (x2) ?

La fonction ln est définie sur ] 0 ; + [ donc f est définie pour tout x tel que x2 > 0.
Autrement dit, Df = *.

Simplifier e2 ln 2.

D’après le cours sur les logarithmes,

n ln a = ln an

donc e2ln2 = eln 22 = eln 4 D’après le cours sur la fonction exponentielle,

exp(ln a) = a

donc eln 4 = 4

Conclusion : e2 ln 2 = 4

Simplifier e-3 ln2.

D’après le cours sur la fonction exponentielle, e-a = donc :

e-3 ln2 =

D’après le cours sur les logarithmes, n ln a = ln an donc :

= =

D’après le cours sur la fonction exponentielle, exp(ln a) = a donc :

eln 8 = 8

Conclusion : e-3 ln2 =

Simplifier e1 + ln 3.

D’après le cours sur la fonction exponentielle,

exp(a+b) = exp(a) x exp(b)

donc

e1 + ln3 = e1 eln3

D’après le cours sur la fonction exponentielle, exp(ln a) = a et exp(1) = e donc

e1 + ln3 = e x 3

Conclusion : e1 + ln3 = 3e

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