Exercices corrigés – Les suites numériques | Reviz.fr – Soutien scolaire gratuit

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Quel est le sens de variation de la suite définie par un = , n ?

Calculons d’abord un+1 :

un+1 = =

On peut maintenant comparer un et un+1.

un et un+1 ont le même numérateur

La fraction la plus grande est celle qui possède le plus petit dénominateur.

Pour tout n de , 0 < n + 3 < n + 4 donc > .

un > un+1

La suite un est strictement décroissante.

Remarque : on peut même ajouter que (un) est bornée car pour tout n,

0 < un < u0

0 < un <

Quel est le sens de variation de la suite définie par un = lorsque n > 0 ?

Pour tout entier strictement positif, un > 0.

On peut donc calculer :

= un+1 x = x =

Pour tout n 1, n + n n + 1

donc 1.

Comme un > 0, l’inégalité précédente ne change pas de sens si on multiplie chaque membre par un :

un+1 un

Conclusion : La suite (un) est croissante.

Calculer les 4 premiers termes de la suite :
un = (-2)n + n.

u0 = (-2)0 + 0 = 1
u1 = (-2)1 + 1 = -1
u2 = (-2)2 + 2 = 6
u3 = (-2)3 + 3 = -5

Quel est le sens de variation de la suite un = , n ?

un =
un+1 = =

Pour tout n ,

0 < n+3 < n+4

Attention au changement du signe de l’inégalité lorsque l’on prend les inverses des termes :

>

un > un+1

La suite un est donc strictement décroissante.

un = avec n
Quel est le sens de variation de cette suite ?

un+1 = = On calcule alors :

un+1 – un = =

un+1 – un =

un+1 – un =

Pour tout n ,

> 0

c’est-à-dire

un+1 – un

La suite est donc strictement croissante.

Soit la suite un = , définie pour tout n *.
Quel est son sens de variation ?

Pour tout n *, un > 0.
Nous pouvons donc calculer le rapport :
= un+1 .

= .

=

Comparons maintenant ce rapport à 1 pour savoir lequel du

numérateur (un+1) ou du dénominateur (un) est le plus grand.

= qui s’écrit encore

Pour tout n *,

n 1
n + n 1 + n

Donc 1
Comme un > 0, l’inégalité ci-dessus nous permet d’écrire un+1 un.
La suite est croisssante.

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