Exercices corrigés – Probabilités | Reviz.fr – Soutien scolaire gratuit

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On jette un dé cubique dont les faces sont numérotées 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
On note pi la probabilité d’avoir i.
Le dé est tel que p6 = 3 p1 et p2 = p3 = p4 = p5 = 0,1.
Quelle est la probabilité d’avoir un numéro pair ?

Avoir un nombre pair, c’est tomber sur 2, 4 ou 6.
Or, on ne connaît pas encore p6. Calculons-le.

La somme des pi vaut 1 puisque c’est la somme des probabilités de tous les résultats possibles.

p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 = 1
donc p1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 3p1 = 1
4 p1 = 0,6
donc p1 = = 0,15
et p6 = 3 p1 = 0,45 Avoir un nombre pair est représenté par A = { 2, 4, 6 } de probabilité

p(A) = p2 + p4 + p6 = 0,1 + 0,1 + 0,45 = 0,65

Une urne contient 3 balles bleues, une verte et 2 rouges. Ces balles sont indiscernables au toucher. On tire 2 balles de l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir : – A « 2 rouges » ? – B « 1 bleue et 1 verte » ?

Les tirages sont successifs, avec remise.

Au premier tirage, on a le choix entre 6 balles. Et au second, c’est pareil puisque l’on remet la balle tirée au premier tirage.
L’univers est donc l’ensemble des listes de 2 balles puisées parmi 6 :
card = 62 = 36 Il y a équiprobabilité.

Evènement A : « 2 rouges »

A chaque tirage, il y a 2 balles rouges dans l’urne :

card A = 2 x 2 = 4 donc p(A) = = =

Evènement B : « 1 bleue et 1 verte »

Pour que B se réalise, soit on doit tirer 1 bleue puis 1 verte, soit 1 verte puis 1 bleue. On doit donc faire la somme de ces 2 possibilités. card B = (bleue puis verte) ou (verte puis bleue) card B = (3×1) + (1×3) = 6

d’où p(B) = = =

Une urne contient 3 balles bleues, une verte et 2 rouges. Ces balles sont indiscernables au toucher. On tire 2 balles de l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir : – A « 2 rouges » ? – B « 1 bleue et 1 verte » ?

Les tirages sont successifs, sans remise .

Au premier tirage, on a le choix entre 6 balles. Et au second, il ne reste que 5 balles.
card = 6 x 5 = 30 Il y a équiprobabilité.

Evènement A : « 2 rouges »

Pour que A se réalise, il faut tirer :

l’une des 2 balles rouges au premier tirage

l’unique balle rouge qui reste au second tirage
card A = 2 x 1 = 2 donc p(A) = = =

Evènement B : « 1 bleue et 1 verte »

Pour que B se réalise, soit on doit tirer 1 bleue puis 1 verte, soit 1 verte puis 1 bleue. On doit donc faire la somme de ces 2 possibilités. card B = (bleue puis verte) ou (verte puis bleue) card B = (3×1) + (1×3) = 6

d’où p(B) = = =

Une urne contient 3 balles bleues, une verte et 2 rouges. Ces balles sont indiscernables au toucher. On tire 2 balles de l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir : – A « 2 rouges » ? – B « 1 bleue et 1 verte » ?

Les tirages sont simultanés, sans ordre .

On pioche une combinaison de 2 balles parmi 6, sans ordre.
card = C = = 15

Evènement A : « 2 rouges »

Pour que A se réalise, il faut tirer exactement les 2 balles rouges de l’urne (il n’y en a que 2). Il n’y a qu’une possibilité :

card A = C = 1 donc p(A) = =

Evènement B : « 1 bleue et 1 verte »

Pour que B se réalise, on doit tirer 1 bleue parmi les 3 bleues de l’urne et l’unique verte.
card B = C x C = 3 x 1 = 3
d’où p(B) = = =

Une entreprise fabrique des stylos. Un stylo peut avoir les défauts a et b. Dans un lot donné, 2% des stylos présentent le défaut a, 8% présentent le défaut b et 1,6% présentent les 2 défauts. On choisit un stylo au hasard dans le lot. Quelles est le probabilité des évènements :

E1 : le stylo choisi présente l’un au moins des défauts

E2 : le stylo choisi présente un et un seul défaut
E3 : le stylo choisi n’a aucun défaut

On notera les évènements : A : le stylo a le défaut a B : le stylo a le défaut b

ensemble des stylos du lot

Probabilité de E1

On cherche la probabilité d’avoir le défaut a ou le défaut b (les 2 à la fois sont possibles également), probabilité notée p(A B). D’après la propriété vue en cours :

p(E1) = p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B)

p(E1) = 0,02 + 0,08 – 0,016
p(E1) = 0,084

Probabilité de E2

Cette fois, on cherche les stylos qui ne possèdent qu’un seul défaut, c’est-à-dire E1 moins les stylos qui possèdent les 2 défauts.
p(E2) = p(E1) – p(A B)
p(E2) = 0,084 – 0,016 = 0,068

Probabilité de E3

Les stylos qui n’ont aucun défaut, c’est l’ensemble des stylos du lot moins ceux qui ont au moins un défaut : E3 =
p(E3) = p( ) = 1 – p(E1)
p(E3) = 1 – 0,084
p(E3) = 0,916
91,6% des stylos du lot n’ont aucun défaut.

On a 2 jeux de 32 cartes bien battus. On tire une carte du premier jeu puis on la met dans le deuxième jeu. On tire ensuite une carte du deuxième jeu.
Quelle est la probabilité de tirer 2 trèfles ?

On note :
T1 : tirer un trèfle au premier tirage
T2 : tirer un trèfle au second tirage

La probabilité de tirer 2 trèfles s’écrit p(T1T2) puisque cela revient à tirer un trèfle au premier tirage (T1) et ensuite un trèfle au second tirage (T2), sachant que l’on a tiré un trèfle au premier tirage. Elle vaut :

p(T1T2) = p(T1) + p(T2/ T1) Le premier jeu comporte 32 cartes, dont 8 trèfles. La probabilité de tirer un trèfle dans le premier jeu est donc :

p(T1) = =

On pose la carte que l’on vient de prendre dans le second jeu. Le second paquet de cartes contient donc 33 cartes. Comme on veut connaître la probabilité de tirer 2 trèfles, cela sous-entend qu’au premier tirage on a tiré un trèfle. Et c’est ce tréfle que l’on ajoute au second jeu.

Le second jeu comporte donc 33 cartes, dont 9 trèfles.

La probabilité de tirer un trèfle dans le second paquet, sachant que l’on a tiré un trèfle dans le premier paquet , vaut :
p(T2/ T1) = =

Ainsi, p(T1t2) = x =

La probabilité de tirer 2 trèfles est de .

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