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Le plan est muni d’un repère orthonormal (O; ; ). Soit z = a + bi (avec a et b réels). Le point M de coordonnées (a;b) est appelé point image de z.

z est l’affixe de M. On note M(z).

Soit z = 3 – 2i Son point image a pour coordonnées (3;-2).

L’axe (O ) est appelé axe réel.

L’axe (O ) est appelé axe imaginaire.
Le plan muni du repère (O; ; ) est appelé plan complexe.

Le vecteur (a,b) est appelé vecteur image de z. z est l’affixe de . On note (z).

Si M est le point image de z, alors le vecteur est le vecteur image de z.

Propriétés

Soient z et z’ deux complexes. M est le point image de z et M’ est le point image de z’.

M = M’ z = z’

 Complexe conjugué et opposé

Soit z de point image M.
M’ est le point image de . M » est le point image de -z.
M(z) et M'(z) sont symétriques par rapport à la droite (O; ).
M(z) et M »(z) sont symétriques par rapport à O.

 Vecteur image de la somme de 2 complexes

Si z a pour vecteur image , si z’ a pour vecteur image , alors z + z’ a pour vecteur image + .

Si z a pour point image M, si z’ a pour point image M’, alors z + z’ a pour point image S tel que = +

 Vecteur image de kz

Soit k un réel.
Si z a pour vecteur image alors kz a pour vecteur image k .
A retenir : -z a pour vecteur image – Si z a pour point image M alors kz a pour point image N tel que :

= k

Si k 0, n est l’image de M par l’homothétie de centre O et de rapport k.

Propriétés des affixes

 Affixe d’un vecteur

Soient les points A d’affixe zA et B d’affixe zB

= a pour affixe zB – zA

 Affixe du milieu de [AB]

Soit I le milieu de [AB].

= ( + ) I a pour affixe zI= (zA + zB)

 Affixe du barycentre d’un système de points

Soit G le barycentre du système de points (Ai; i) dont la somme des i est non nulle.
Soit zi l’affixe de Ai et m la somme des coefficient i.
L’affixe de G est :

zG= izi
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