– Les nombres complexes | Reviz.fr – Soutien scolaire gratuit

accueil   >>   terminale   >>   mathématiques   >>   Les nombres complexes   

Calculer (2 + 3i) + (-3 + 2i).

(2 + 3i) + (-3 + 2i) = 2 + 3i – 3 + 2i (2 + 3i) + (-3 + 2i) = 2 – 3 + 3i + 2i

(2 + 3i) + (-3 + 2i) = -1 + 5i

Calculer (3 + i).(-2 -3i).

(3 + i).(-2 -3i) = -6 – 9i – 2i + 3
(3 + i).(-2 -3i) = -3 – 11i

Calculer (2 + 4i).(2 – 4i).

(2 + 4i).(2 – 4i) = 4 – 8i + 8i + 16 (2 + 4i).(2 – 4i) = 20

La multiplication d’un complexe par son conjugué donne toujours un réel.

Modifier pour obtenir un nombre complexe sous la forme z = a + bi.

Pour se débarrasser du i au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué de (3 + i), c’est-à-dire par (3 – i).
=
=
=
On retrouve bien la forme z = a + bi avec a = et b = .

Calculer .

= .
= (5 + 2i).(-2 – 3i)
= -10 – 15i – 4i + 6
= -4 – 19i

Calculer (5 + i).(5 – i).

D’après le cours :
(5 + i).(5 – i) = 52 + 12 = 26

Calculer (2 + 3i)2.

On applique la formule valable dans :

(a+b)2 = a2 + b2 + 2ab

(2 + 3i)2 = (2)2 + (3i)2 + 2x2x3i
(2 + 3i)2 = 4 – 9 + 12i
(2 + 3i)2 = -5 + 12i

Ecrire sous la forme z = a + bi.

Pour supprimer le i du dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué, c’est-à-dire -i.
=
=
= -i
On retrouve la forme z = a + bi avec a = 0 et b = -1.

On sait que i = 5 – 3i.
Combien vaut z ?

i = 5 – 3i d’où = On fait disparaître le i du dénominateur en multipliant par (-i).

=

=

= -3 – 5i donc z = -3 + 5i

Résoudre dans : z2 – z + 1 = 0

= b2 – 4ac = (-1)2 – 4 = -3
< 0 donc il n’y a pas de solutions réelles, mais 2 solutions complexes :
z1 = =

z2 = =

Dans le plan complexe, on définit 4 points par leurs affixes :
A d’affixe zA = 1 + i
B d’affixe zB = -1 + 3i
C d’affixe zC = 3 + 3i
D d’affixe zD = 5 + i
Calculer les affixes des vecteurs et .
Que peut-on dire du quadrilatère ABCD ?

affixe de = zB – zA = (-1 + 3i) – (1 + i) = -2 + 2i
affixe de = zD – zC = (5 + i) – (3 + 3i) = 2 – 2i

= – d’où =

Les côtés opposés AB et DC du quadrilatère ABCD sont 2 vecteurs égaux. ABCD est donc un parallélogramme.

Quel est le module de 1 + i ?

D’après le cours :
| 1 + i | = = = 2

Ecrire z = 3 + 2i sous sa forme trigonométrique.

Le module de z est |z| = = Calculons à présent l’argument de z. D’après le cours, si la forme algébrique de z est a + bi, on a :

cos = =

sin = =

Avec la calculatrice, on déduit que 0,59 rad La forme trigonométrique de z est donc

– Les nombres complexes | Reviz.fr – Soutien scolaire gratuit
Retour en haut