Module et argument d'un nombre complexe – Les nombres complexes | Reviz.fr – Soutien scolaire gratuit

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Soit z = a + bi un complexe (a et b réels).
On appelle module de z le réel positif, noté |z| défini par

|z| =

Remarque : si z = a (réel), le module de z est la valeur absolue de a : |z| = |a|

 Interprétation géométrique

Le plan est muni d’un repère orthonormal (O ).
Soit le vecteur image de z. Soit M le point image de z.

      |z| = || || = OM

 Propriétés

Pour tout complexe z, |z|2 = z
Soient les points A d’affixe zA et B d’affixe zB.
a pour affixe zB – zA donc :

| zB – zA | = AB

Pour tout complexe z :

|z| = 0 z = 0

 Inegalité triangulaire

Soient z et z’ deux complexes quelconques. Soit M le point image de z et M’ celui de z’. Soit S le point image de z + z’.

On a OS OM + OM’ donc :

| z + z’ | |z| + |z’|

 Module d’un produit, d’un quotient, d’une puissance

Pour tous complexes z et z’ : |zz’| = |z|.|z’|
Si z 0 :

=             |zn| = |z|n

Argument d’un complexe non nul

 Définition

Le plan est muni d’un repère (O ). Soit z un complexe non nul, de point image M.

On appelle argument de z une mesure en radians de l’angle ( ).


On note : arg z = ( , )       (2 )

(2 ) se lit « modulo 2  » et peut-être remplacé par + 2k , avec k entier.

 Propriétés des arguments

Soit z un complexe non nul.

z réel arg z = k , k z +* arg z = 0       (2 ) z -* arg z =       (2 ) z imaginaire pur arg z = + k       k

arg (-z) = arg z +       (2 ) arg ( ) = arg z       (2 )

Pour tous complexes non nuls z et z’:

arg zz’ = arg z + arg z’ (2 ) arg = – arg z’ (2 )       arg = arg z – arg z’ (2 )

Pour tout n , arg zn = n arg z       (2 )

 Argument d’une différence et d’un quotient de différences

Soient a et b deux complexes avec a b. Soient A le point image de a et B celui de B.

(b-a) a pour vecteur image . arg (b-a) = ( , )       (2 )

Soit z un complexe différent de a et b, de point image M.

arg = arg = ( , )       (2 )
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