Module et argument d’un nombre complexe

Un nombre complexe est une expression de la forme z = a + bi, où a et b sont des nombres réels et i est la racine carrée de -1. On peut représenter graphiquement un nombre complexe dans un plan complexe, en plaçant a sur l’axe des abscisses et b sur l’axe des ordonnées. Le point correspondant à z dans le plan complexe est appelé point image de z.

Le module d’un nombre complexe z, noté |z|, est la distance du point image de z au point de coordonnées (0,0) dans le plan complexe. On le calcule en utilisant la formule suivante : |z| = √(a^2 + b^2).

L’argument d’un nombre complexe z, noté arg(z), est l’angle formé par le segment reliant le point image de z au point de coordonnées (0,0) et l’axe des abscisses, mesuré en radians. On le calcule en utilisant la formule suivante : arg(z) = atan(b/a).

Voici quelques propriétés importantes du module et de l’argument d’un nombre complexe :

  • Si z = a + bi, alors |z| = |a + bi| = √(a^2 + b^2) et arg(z) = arg(a + bi) = atan(b/a).
  • Le module d’un nombre complexe est toujours positif ou nul.
  • L’argument d’un nombre complexe est compris entre -π et π (ou entre -180° et 180° si on utilise les degrés).
  • Si z = a + bi et w = c + di sont deux nombres complexes, alors :
    • |z + w| ≤ |z| + |w| (inégalité triangulaire)
    • arg(zw) = arg(z) + arg(w) (addition des arguments)

Voici comment on peut utiliser ces propriétés pour effectuer des calculs avec des nombres complexes :

  • Pour ajouter ou soustraire deux nombres complexes, il suffit de faire les opérations sur les parties réelles et imaginaires séparément (par exemple, (3 + 4i) + (5 + 2i) = (3+5) + (4+2)i = 8 + 6i).
  • Pour multiplier deux nombres complexes, on utilise la formule suivante : (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i. Par exemple, (3 + 4i)(5 + 2i) = (35 – 42) + (32 + 45)i = 1 + 22i.
  • Pour diviser deux nombres complexes, on multiplie le premier par le conjugué du second. Le conjugué d’un nombre complexe z = a

Marcel