Mouvement parabolique de chute libre – Applications des lois de la dynamique | Reviz.fr – Soutien scolaire gratuit

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A t=0, un projectile est lancé avec une vitesse initiale v0.
Exemple : balle de golf

La seule force que nous allons prendre en compte est le poids = m de la balle. Les frottements de l’air sont négligés.
D’après le théorème du centre d’inertie :

EXT = m G d’où G =

En projetant ce résultat selon les axes du repère Oxyz, on obtient les composantes de l’accélération :

ax = gx = 0

ay = gy = 0
az = gz = -g (le mouvement est uniformément varié) En intégrant l’accélération et en tenant compte des conditions initiales, on déduit la vitesse :

vx = constante = v0x = v0 cos( )

vy = constante = v0y = 0
vz = -gt + v0z = -gt + v0 sin( )

Enfin, en intégrant la vitesse, nous obtenons la position de la balle de golf en fonction du temps, c’est-à-dire les coordonées du vecteur :

x = v0 cos( ) t + x0 = v0 cos( ) t y = 0 (le mouvement à lieu dans le plan xOz)

z = – gt2 + v0 sin( ) t + z0 = – gt2 + v0 sin( ) t

Equation de la trajectoire : altitude z en fonction de x

A partir de la coordonnée x de , on déduit t.

t =

Puis en remplaçant t dans l’expression z du vecteur , on a :

z = – x2 + (tan )x

C’est une équation du type ax2 + bx + c. La trajectoire est donc une parabole.

Calcul de la flèche (altitude maximale atteinte par la balle)

Au départ de la trajectoire, la balle monte donc vz > 0.
Lorsque la balle redescend, vz < 0.
Au sommet de la trajectoire, la vitesse ascentionnelle vz passe par 0. C’est cette particularité qui nous permet de calculer l’instant où la balle est au plus haut.

vz = 0 tSOMMET =

En remplaçant ce temps dans l’expression de la trajectoire z(x), on obtient la flèche h :

h =

La balle atteint le sommet lorsque xS =

Calcul de la portée (distance parcourue par la balle avant de toucher le sol)

En fin de trajectoire, lorsque la balle touche le sol, on a z = 0.
Avec l’expression z(x), qui décrit la trajectoire, on peut déduire :

xPORTEE =

C’est le double de xS.

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