REVIZ.fr – Angles orientés et rotations

Niveau : première
Matière : mathématiques (géométrie)

radians 180°

Si est la mesure d’un angle en radians et x sa mesure en degré, on a la relation

180 = x

Longueur d’un arc de cercle

La longueur d’un arc de cercle de rayon R et d’angle (en radians) est

L = R

Cercle orienté

+ est le sens direct, ou trigonométrique.

L’autre sens est dit rétrograde.

Angles orientés et vecteurs unitaires


Dans ce cercle de rayon 1, les vecteurs unitaires et définissent l’angle orienté ( ; ).

Si est une mesure de cet angle, alors + 2k l’est aussi (k entier relatif).

Cela revient à ajouter des tours (2 ou 360°) à la mesure de l’angle. Pour tout angle, il existe une unique mesure comprise dans l’intervalle

] – ; ]. C’est la mesure principale.

Propriétés

( ; ) = – ( ; )
( ; ) = 0 (2 )
( – ; ) = (2 )
cos ( ; ) = cos ( ; )
Remarque : (2 ) se lit « modulo 2  » et revient à écrire « + 2k (avec k entier relatif) »

Théorème

Si et sont différents de :

et colinéaires ( ; ) = k (k entier relatif)

Relation de Chasles

Pour tous vecteurs , et ,

( ; ) + ( ; ) = ( ; )

Coordonnées d’un vecteur

Soit une base orthonormale directe.
Cela signifie que = = 1 et ( ; ) =

Dans le repère orthonormal direct ( O , , ), = cos + sin

= = OM et ( ; ) = (2 )

Une rotation de centre O et d’angle est la transformation du plan qui à tout point M associe M’ tel que :

OM’ = OM et ( ; ‘ ) = (2 )


On la note :

r( O ; )(M) = M’

Remarque : si M = O, r( O ; )(O) = O
O est invariant.

Rotation réciproque

Pour tout point M, il existe un point M’ tel que r( O ; )(M) = M’.
De même, pour tout point M’, il existe M tel que M = r( O ; – )(M’).
La rotation est une bijection du plan.

r( O ; – ) est la réciproque de r( O ; )

Coordonnées

M’ = r( O ; )(M)

x’ = x cos – y sin       et       y’ = x sin + y cos

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