REVIZ.fr – Applications des lois de la dynamique

Niveau : terminale
Matière : physique (mécanique)

Système considéré : le solide étudié Référentiel : terrestre (considéré comme galiléen)

Forces appliquées au solide : le poids = m et les frottements de l’air (négligeables)

Le solide est en chute libre, c’est-à-dire qu’il ne subit que son poids.

D’après le théorème du centre d’inertie :

EXT = m G d’où = G

Cas de la chute libre sans vitesse initiale

On considère qu’à t=0, le solide est lâché de l’origine du repère de travail (z0 = 0), sans vitesse initiale (v0 = 0).

 Axe dirigé vers le haut

On projète l’équation du théorème du centre d’inertie sur l’axe (Oz), l’axe du mouvement.

Accélération : az = -g

Pour obtenir, la vitesse selon z, on intègre l’équation de l’accélération selon z, en tenant compte de la vitesse initiale (nulle dans notre cas).

Vitesse : vz = -gt + v0 = -gt

De même, pour obtenir l’équation de la position selon z, on intègre l’équation de la vitesse selon z, en tenant là encore compte des conditions initiales.

Position : z = – gt2 + v0t + z0 = – gt2

 Axe dirigé vers le bas

On projette l’équation du théorème du centre d’inertie sur l’axe (Oz), l’axe du mouvement.

Accélération : az = g

Pour obtenir, la vitesse selon z, on intègre l’équation de l’accélération selon z, en tenant compte de la vitesse initiale (nulle dans notre cas).

Vitesse : vz = gt + v0 = gt

De même, pour obtenir l’équation de la position selon z, on intègre l’équation de la vitesse selon z, en tenant là encore compte des conditions initiales.

Position : z = gt2 + v0t + z0 = gt2

Chute libre avec vitesse initiale verticale

A t=0, la bille est lâchée (ou plutôt propulsée) avec une vitesse initiale v0 (v0 0) depuis l’altitude z = z0.

D’après le théorème du centre d’inertie, G =

En choisissant d’orienter l’axe z vers le haut, on obtient aG = -g

On calcule ensuite facilement :

la vitesse : vG = -gt – v0

(remarque : on soustrait v0 car sur le schéma, la vitesse initiale 0 pointe vers le sens inverse de l’axe Oz)
la position : zG = – gt2 – v0t + z0(remarque : on ajoute z0 car z0 représente la position initiale de la balle. z0 est algébrique : il peut être positif ou négatif)

A t=0, un projectile est lancé avec une vitesse initiale v0.
Exemple : balle de golf

Equations horaires (c’est-à-dire fonction du temps t)

La seule force que nous allons prendre en compte est le poids = m de la balle. Les frottements de l’air sont négligés.
D’après le théorème du centre d’inertie :

EXT = m G d’où G =

En projetant ce résultat selon les axes du repère Oxyz, on obtient les composantes de l’accélération :

ax = gx = 0

ay = gy = 0
az = gz = -g (le mouvement est uniformément varié) En intégrant l’accélération et en tenant compte des conditions initiales, on déduit la vitesse :

vx = constante = v0x = v0 cos( )

vy = constante = v0y = 0
vz = -gt + v0z = -gt + v0 sin( )

Enfin, en intégrant la vitesse, nous obtenons la position de la balle de golf en fonction du temps, c’est-à-dire les coordonées du vecteur :

x = v0 cos( ) t + x0 = v0 cos( ) t y = 0 (le mouvement à lieu dans le plan xOz)

z = – gt2 + v0 sin( ) t + z0 = – gt2 + v0 sin( ) t

Equation de la trajectoire : altitude z en fonction de x

A partir de la coordonnée x de , on déduit t.

t =

Puis en remplaçant t dans l’expression z du vecteur , on a :

z = – x2 + (tan )x

C’est une équation du type ax2 + bx + c. La trajectoire est donc une parabole.

Calcul de la flèche (altitude maximale atteinte par la balle)

Au départ de la trajectoire, la balle monte donc vz > 0.
Lorsque la balle redescend, vz < 0.
Au sommet de la trajectoire, la vitesse ascentionnelle vz passe par 0. C’est cette particularité qui nous permet de calculer l’instant où la balle est au plus haut.

vz = 0 tSOMMET =

En remplaçant ce temps dans l’expression de la trajectoire z(x), on obtient la flèche h :

h =

La balle atteint le sommet lorsque xS =

Calcul de la portée (distance parcourue par la balle avant de toucher le sol)

En fin de trajectoire, lorsque la balle touche le sol, on a z = 0.
Avec l’expression z(x), qui décrit la trajectoire, on peut déduire :

xPORTEE =

C’est le double de xS.

Un mobile est laissé libre sur un plan incliné.

  • Référentiel : terrestre
  • Forces : le poids = m et la récation du plan incliné

On néglige les frottements.

D’après le théorème du centre d’inertie :

EXT = +

Après projection, on obtient :

  • selon Ox : P sin = m ax donc g sin = ax
  • -P cos + RN = m ay

Comme le mobile ne décolle pas, l’accélération selon Oy est nulle : ay=0. Ainsi,

RN = mg cos

 Calcul de v après un déplacement d

Grâce au théorème de l’énergie cinétique, on sait que :

EC = W ( EXT)

W ( ) = mgh = mg d sin
W ( ) = 0 car mouvement
donc EC = mv2mv02 = mg d sin
d’où

v2 = 2 g d sin + v02

Glissements avec frottements

Cette fois, on tient compte des frottements entre le mobile et le plan incliné.

Théorème du centre d’inertie :

EXT = + +

On projette cette équation selon Ox et Oy :

  • selon Ox : m ax = mg sin – f
  • m ay = 0 = RN – mg cos

Si f est constant, l’accélération ax est constante aussi (car m, g et sont constants).
Sachant que W( = -fd, on calcule v grâce au théorème de l’énergie cinétique.

v2 = 2d ( g sin ) + v02

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