REVIZ.fr – Calcul de limites

Niveau : première
Matière : mathématiques (analyse)

Si a est une valeur approchée de x à 10-n près, cela revient à écrire :

| x – a | 10-n d(x ; a) 10-n a – 10-n x a + 10-n x [ a – 10-n ; a + 10-n ]

Toutes ces notations sont équivalentes.

Comparaison des fonctions xn

Sur [ 0 ; 1 ] :

xn xn-1 x3 x2 x

Sur [ -1 ; 1 ] :

| xn | | xn-1 | | x3 | | x2 | | x |

Soit f une fonction définie sur un intervalle J, avec J = ]-b;b[ ou ]-b;0[ ou ]0;b[.
Cette fonction admet pour limite 0 en 0 lorsque, pour tout nombre L aussi voisin de 0 que l’on veut, on peut trouver x J tel que f(x) soit plus proche que 0 que le L choisi au départ.
On note :

f(x) = 0

Par exemple :
x2 = 0            x = 0            xn = 0

Théorème

Si, pour tout x J, | f(x) | g(x) et g(x) = 0, alors

f(x) = 0

Fonctions qui n’ont pas de limites en 0

 Non définies en 0

Par exemple, f(x) = n’est pas définie en 0 ; elle n’a pas de limite en 0.

 Limite en 0+ et limite en 0

C’est le cas de f(x) = définie sur *.

En 0+, sa limite en 0 est 1.
En 0, sa limite en 0 est -1.
Ces 2 limites sont différentes donc la fonction n’a pas de limite en 0.

Limite b en 0

Si [ f(x) – b ] = 0 alors f(x) = b

Limite b en a

Si f(a + h) = b alors f(x) = b .

Si f est définie en a et si f admet une limite en a, alors

f(x) = f(a)

Si f = b et g = b’ alors

f + g = b + b’

Produit

Si f = b et g = b’ alors

f x g = b x b’

Si f = b et k alors

k x f = k x b

Quotient

Si f = b et g = b’ et b 0 alors

=

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