REVIZ.fr – Calcul de volumes

Niveau : terminale
Matière : mathématiques (algèbre – géométrie)

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O ). On prend pour unité de volume le cube défini par :

0 x 1
0 y 1
0 z 1

Théorème

Soit un solide limité par les plans d’équations z = a et z = b, avec a b.

Tout plan d’équation z = t avec t [ a ; b ] coupe selon une surface d’aire S(t).
Si la fonction t S(t) est dérivable sur [ a ; b ] alors a pour volume :
V = S(t) dt

V est exprimé en u.v. (unités de volume).

Soit un cylindre ou un prisme de hauteur h, dont la base a pour aire S.
La base se trouve dans le plan ( O ).

On fait la « somme » de toutes les surfaces intermédiaires en intégrant de 0 à h. V = S dt = [ St ] = Sh

Lorsque le cylindre a pour base un disque de rayon R, S = R2 et V = R2 h

Volume d’une boule

Soit une boule de centre O et de rayon R.

Le plan d’équation z = t avec t [ -R ; R ] coupe la boule suivant un disque de centre O’ de rayon R’, d’aire S(t).

D’après Pythagore :

R’2 = R2 – t2

L’aire de la section est S(t) = R’ 2 = (R2 – t2)

V = (R2 – t2) dt = R3

Volume d’un cône ou d’une pyramide

Soit un cône ou une pyramide de sommet O, de hauteur h.
La base B a pour aire S.

Chaque section B’ est l’image de B par une homothétie de centre O et de rapport .
Comme une homothétie de rapport k multiplie les aires par k2, B’ a pour aire S'(t) = S

Volume du cône ou de la pyramide :

V = S'(t) dt = S h

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