REVIZ.fr – Calcul intégral

Niveau : terminale
Matière : mathématiques (analyse)

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et admettant des primitives sur I ; a et b deux réels de I. L’intégrale de a à b de f est le nombre F(b) – F(a), F étant une primitive quelconque de f sur I.

Ce nombre est noté f(t) dt .

On dit « intégrale de a à b de f(t) dt « . f(t) dt = F(b) – F(a) = [ F(t) ]

a et b sont les bornes de l’intégrale, t est une variable muette

Propriétés

Toute fonction dérivable sur un intervalle est intégrable sur cet intervalle.

f(t) dt = 0 f(t) dt = – f(t) dt

Théorème « Intégrale et primitive »

Soit f une fonction définie et intégrable sur un intervalle I.
Soit a I.

La fonction j définie sur I par j(x) = f(t) dt est la primitive de f sur I, qui s’annule en a.

Soit f une fonction intégrable sur un intervalle I, F une primitive de f sur I, a, b et c trois réels de I.
On a :

f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx

Linéarité

Soit f et g deux fonctions intégrables sur un intervalle I, a et b deux réels de I, k un réel.
On a :

[ f(x) + g(x) ] dx = f(x) dx + g(x) dx

et

k.f(x) dx = k f(x) dx

Intégrale d’une fonction périodique

Soit f une fonction intégrable sur un intervalle I, périodique de période T. Soit a I.
f(x) dx est indépendante de a :

f(x) dx = f(x) dx

Intégrale d’une fonction paire ou impaire

Soit f une fonction intégrable sur un intervalle I, centrée en 0. Soit a I.

Si f est paire : f(x) dx = 2 f(x) dx Si f est impaire : f(x) dx = 0

Soit f une fonction intégrable sur un intervalle I. Soient a et b deux réels de I.

Si f 0 sur I et a < b alors f(x) dx 0

attention : la réciproque est fausse .

Théorème 2

Soient f et g deux fonctions intégrables sur un intervalle I. Soient a et b deux réels de I tels que a

Si f g sur I alors f(x) dx g(x) dx

attention : La réciproque est fausse .

Inégalités de la moyenne

Soit f une fonction intégrable sur un intervalle I, a et b deux réels de I.
Si m f M (m et M réels) et si a < b alors

m(b-a) f(x) dx M(b-a)

Si | f | M alors | f(x) dx | M | b-a |

Valeur moyenne

Soit f une fonction intégrable sur [a;b] avec a < b. La valeur moyenne de f sur [a;b] est le réel :

= f(x) dx

u et v étant deux fois dérivables sur un intervalle I, pour tous réels a et b de I :

u(t).v'(t) dt = [ u(t) . v(t) ] u'(t).v(t) dt

Soit f une fonction intégrable et positive sur un intervalle I.
Soit a et b deux réels (a x b et 0 y f(x)
L’aire de D est :

A(D) = f(x) dx (en unités d’aire)

Le plan est muni d’un repère orthogonal noté (O ). Soit f une fonction intégrable et négative sur [a;b] avec a < b.

Soit D le domaine défini par :

a x b et f(x) y 0

L’aire de ce domaine est :

A (D) = – f(x) dx

Les exercices corrigés sont disponibles sur le site Reviz.fr

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