REVIZ.fr – Dénombrement

Niveau : terminale
Matière : mathématiques (combinatoire – probabilités)

Soit n . Un ensemble E ayant n éléments est dit fini. Son cardinal est n. On écrit card E = n. Soient A et B deux parties de E.

Intersection de A et B :

A B = { x E / x A et x B }

Réunion de A et B :

A B = { x E / x A ou x B }

Si A B = , A et B sont disjoints. Soit A une partie de E. Le complémentaire de A dans E est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A.

On le C ou, lorsque l’ensemble de référence E a été fixé

A =       A = E

Une partition de E est un ensemble de parties de E telles que :

  • ces parties ne sont pas vides
  • ces parties sont disjointes 2 à 2
  • leur réunion est E

Propriétés

Soient A et B deux parties de E.

Si A B = , card E = card A + card B

Dans le cas général, card A B = card A + card B – card A B

Soit A une partie de E.

card E = card A + card

Si A1, A2, … , An constituent une partition de E alors :

card E = card A1 + card A2 + … + card An

Soit E un ensemble ayant n éléments (n 1). Soit p , p 1.
Une liste de p éléments de E est une suite ordonnée de p éléments de E non nécessairement distincts.

Théorème

Le nombre de listes de p éléments d’un ensemble E à n éléments est np.

Soit E un ensemble ayant n éléments. Soit p un entier tel que 1 p n.
Un arrangement de p éléments de E est une liste de p éléments distincts de E.

Théorème

Le nombre d’arrangements de p éléments d’un ensemble à n éléments est :

A = n(n-1)(n-2) … (n-p+1)       (p facteurs)

Une permutation d’un ensemble E à n éléments est un arrangement des n éléments de E.

Théorème

Soit n 1. Le nombre de permutations d’un ensemble E à n éléments est :

n x (n-1) x (n-2) x … x 2 x 1

Ce nombre est appelé « factorielle n ». On le note n!.

Propriétés

Par convention 0! = 1
Remarque : autre écriture de A (1 p n) :

A = n(n-1)(n-2)…(n-p+1) A = A =

Par convention : A = 1

Soit E un ensemble ayant n éléments (n 1). Soit p un entier tel que : 0 p n
Une combinaison de p éléments de E est une partie de E ayant p éléments.

Théorème

Le nombre de combinaisons de p élements d’un ensemble à n éléments (0 p n) est :

C = =

Remarque : dans une combinaison, les éléments sont distincts (pas de répétitions) et il n’y a pas d’ordre.

Propriétés des nombres C

Soit n .

C = 1            C = 1            C = n

Pour 0 p n :

C = C C = C + C       avec p n-1 et 0 p

Valeurs de p

Valeurs de n      

Principe de construction : chaque case est la somme de la case supérieure et de la case supérieure gauche.
exemple :

case(n=4 ; p=2) = case(n=3 ; p=1) + case(n=3 ; p=2)

Au croisement de la ligne n et de la colonne p, on lit la valeur de C

Etude des premières identités remarquables (a+b)n

Pour tous complexes a et b :
(a+b)0 = 1
(a+b)1 = 1 a + 1 b
(a+b)2 = 1 a2 + 2 ab + 1 b2
(a+b)3 = 1 a3 + 3 a2b + 3 ab2 + 1 b3
(a+b)4 = 1 a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + 1 b4

Les coefficients (ici en couleur) reproduisent exactement la structure du tableau de Pascal. Nous en déduisons que :

(a+b)n = C an + … + C an-b bb + … + C bn

Formule du binôme

(a+b)n = C an-k bk

Les exercices corrigés sont disponibles sur le site Reviz.fr

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