REVIZ.fr – Dérivation – théorie

Niveau : première
Matière : mathématiques (analyse)

Une fonction f définie au voisinage de a est différentiable en a lorsqu’il existe un réel b tel que :

= b ou = b

b s’appelle le nombre dérivé de f en a. On le note b = f'(a) .

Interprétation géométrique

est le coefficient directeur de la droite (AM).

x est l’abscisse de M. Lorsque x tend vers a, M se rapproche de A. Quand M est confondu avec A, la droite a pour coefficient directeur f'(a).

La droite (T) qui passe par A et qui a pour coefficient directeur le nombre f'(a) est appelée tangente à la courbe Cf au point A. Elle a pour équation

y = f'(a) x + f(a) – f'(a) a

ou encore

y – f(a) = (x – a) f'(a)

La fonction f est dérivable en a il existe un nombre b et une fonction définie au voisinage de 0 tels que (h) = 0 et pour h suffisamment voisin de 0,

f(a+h) = f(a) + bh + h (h)

h f(a) + bh est l’approximation affine de f(a+h) pour h voisin de 0 : f(a+h) f(a) + bh

Si f est dérivable en tout x J, J étant inclus dans Df (noté J Df), on définit une nouvelle fonction dans J qui à tout x de J associe le nombre dérivé de f en x.

f’ :

Fonction constante f(x) = k

f est dérivable en tout a .

f’ :

Fonction affine f(x) = mx + p

f est dérivable en tout a .

f’ :

Fonction carré f(x) = x2

f est dérivable en tout a .

f’ :

Fonction cube f(x) = x3

f est dérivable en tout a .

f’ :

Fonction inverse f(x) =

f est dérivable en tout a ] 0 ; + [.

f’ :

Fonction racine f(x) =

f est dérivable en tout a ] 0 ; + [.

f’ :

Si u et v sont dérivables sur J, f = u + v est dérivable sur J.

f’ = u’ + v’

Produit

Si u et v sont dérivables sur J, f = u . v est dérivable sur J.

f’ = u’v + uv’

Si u est dérivable sur J et k est un réel, f = ku est dérivable sur J.

f’ = ku’

Quotient

Si v est dérivable et non nulle sur J, f = est dérivable sur J.

f’ = –

Si u et v sont dérivables sur J (et v non nulle sur J), f = est dérivable sur J.

f’ =

Si :

  • g(x) = f(ax+b)
  • f est dérivable sur J
  • pour tout x de I, ax + b J

alors :

g est dérivable sur I et g'(x) = f ‘(ax+b) x a

Exemple : fonctions g(x) = (ax + b)n

Pour tout n entier relatif, g est dérivable sur et

g'(x) = n (ax + b)n-1 a

où n (ax + b)n-1 est la dérivée d’une fonction de type Xn ou X = ax + b et a est la dérivée de ax + b.

REVIZ.fr – Dérivation – théorie
Retour en haut