REVIZ.fr – Equations de droites

Niveau : seconde
Matière : mathématiques (calcul et fonctions)

On appelle vecteur directeur d’une droite (d) tout vecteur non nul défini par un couple de points de la droite (d).

ex : , , , , et sont des vecteurs directeurs de la droite (d)

Toute droite du plan a une équation de la forme ux + vy + w = 0 appelée équation cartésienne.

Réciproque

L’ensemble des points M(x;y) dont les coordonnées vérifient l’équation ux + vy + w = 0 avec (u;v) (0;0) est une droite de vecteur directeur ( – v ; u ).

Cas particuliers

Les droites parallèles à l’axe des abcisses ont pour équation cartésienne

y – w = 0

Les droites parallèles à l’axe des ordonnées ont pour équation cartésienne

x – w = 0

Soit (d) la droite d’équation cartésienne ux + vy + w = 0.
Soit (d’) la droite d’équation cartésienne u’x + v’y + w’ = 0.

(d) // (d’) si et seulement si uv’ – u’v = 0.


Cela signifie que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Perpendicularité

Soit (d) la droite d’équation cartésienne ux + vy + w = 0.
Soit (d’) la droite d’équation cartésienne u’x + v’y + w’ = 0.

(d) (d’) si et seulement si uu’ + vv’ = 0.


Cela signifie que leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Soit (d) d’équation cartésienne ux + vy + w = 0, de vecteur directeur ( -v ; u ). Si v = 0, la droite a pour équation cartésienne ux + w = 0 et pour vecteur directeur ( 0 ; u ). Elle est parallèle à l’axe des ordonnées.

Si v 0, on peut écrire y = – x – , écriture de la forme :

y = ax + b

Un autre vecteur directeur de (d) a pour coordonnées ( 1 ; a ).

Définitions

Soient a et b deux réels. L’ensemble des points M dont les coordonnées (x;y) vérifient la relation y = ax + b est une droite (d) de vecteur directeur ( 1 ; a ).

  • y = ax + b est l’équation réduite de (d)
  • a est le coefficient directeur de (d)
  • pour x = 0, on obtient y = b. On dit que b est l’ordonnée à l’origine

Coefficient directeur d’une droite dont on connaît 2 points

Soit (d) une droite passant par le point A (xA ; yA) et le point B (xB ; yB).

Le coefficient directeur de cette droite est : a =

Remarque : =

Propriétés

Soit (d) d’équation réduite y = ax + b, de vecteur directeur (1;a).
Soit (d’) d’équation réduite y = a’x + b’, de vecteur directeur (1;a’).

(d) // (d’) a’ = a
(d) (d’) aa’ = -1

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