REVIZ.fr – Equations et inéquations du premier degré

Niveau : première
Matière : mathématiques (analyse)

Une droite (d) a pour équation y = ax + b Remarque : on peut aussi écrire ax – y + b = 0

On dit que a est le coefficient directeur de (d).

Résolution algébrique et graphique

Soit la fonction f, définie de dans ,qui à x associe f(x) = 2x + 2 f(x) est l’image de x par la fonction f.

La représentation graphique de f a pour équation cartésienne y = f(x) dans le repère ( O ).

Résoudre 2x + 2 = 0, c’est résoudre f(x) = 0. Cela revient à trouver l’abcisse du point d’intersection de la droite représentant f avec l’axe des abcisses.

Résoudre f(x) 0, c’est trouver l’ensemble des abcisses pour lesquelles (d) est au dessus de l’axe des abcisses.

Règles de calcul

Le symbole (se lit « équivaut à ») signifie « a la(les) même(s) solution(s) que ».

a b a + c b + c

Si a b, alors :

  • si c > 0, ac bc
  • si c < 0, ac bc

Théorème :

ab = 0 a = 0 ou b = 0

Soit le système d’inconnues x et y suivant :

(S)

Ce système, d’inconnues x et y, possède une solution unique ab’ – ba’ 0.

ab’ – ba’ s’appelle le déterminant du système. On le note D =

Système à 3 équations / 3 inconnues (ou plus)

Si le système est triangulaire, du type

ax + by + cz = d b’y + c’z = d’

c »z = d’

et s’il possède une solution, cette solution doit vérifier les 3 équations.

Il est assez simple de déduire z = d »,c », puis y, puis x.

En revanche, si le système n’est pas triangulaire (= les équations comportent toutes x, y et z), il est plus complexe à résoudre (on utilise alors la composition).

Soit le système (S) suivant :

+ = 5

= 2

avec x 0 et y 0

Pour résoudre ce système, on pose X = et Y = .

En remplaçant par X et par Y dans (S), on tombe sur un système linéaire, que l’on sait résoudre.

2X + 3Y = 5
X – 2Y = 2

Ensuite, on peut retrouver les solutions x et y facilement car

x =       et       y =

Soit la droite (d) d’équation ax + by + c = 0.
Elle partage le plan en 2 demi-plans ouverts P1 et P2.

Pour savoir quel plan vérifie ax + by + c > 0, on prend un point particulier (de coordonnées simples), par exemple (0;0) ou (1;1), et on fait le calcul.

Pour résoudre un système d’inéquations, on résout chacune des inéquations ; la solution est, si elle existe, la zone qui vérifie chacune des inéquations.

Les exercices corrigés sont disponibles sur le site Reviz.fr

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