REVIZ.fr – Equations et inéquations

Niveau : seconde
Matière : mathématiques (calcul et fonctions)

Toute équation de la forme ux + vy + w = 0 (où u, v et w sont des réels connus) est une équation linéaire à 2 inconnues dont les solutions sont représentées par la droite d’équation cartésienne ux + vy + w = 0 et de vecteur directeur (-v ; u).

Explications

Pour résoudre l’équation 4x + 2y = 10, on réorganise les termes de cette équation pour isoler y. On obtient :

y = -2x + 5

Il s’agit de l’équation réduite de la droite (d) représentée ci-dessous.

Chaque point M situé sur cette droite est solution de l’équation car ses coordonnés (xM ; yM) vérifient l’équation.
Par exemple, A(0 ; 5), B(2,5 ; 0) et C(1 ; 3) sont solutions.

Résoudre le système (S) revient à trouver les couples (x0 ; y0) qui vérifient chacune des 2 équations. Les 2 équations correspondent : – à la droite (d) de vecteur directeur (-v ; u) – à (d’) de vecteur directeur (-v’ ; u’)

3 cas sont alors envisageables.

 1er cas : (d) et (d’) sont sécantes

Dans ce cas, leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires :

uv’ – u’v 0


Il y a un unique couple solution (x0 ; y0) ; c’est le point d’intersection de (d) et (d’).

 2ème cas : (d) et (d’) sont parallèles et distinctes

Dans ce cas, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires :

uv’ – u’v = 0


Il n’y a aucune solution.

 3ème cas : (d) et (d’) sont confondues

Leurs vecteurs directeurs sont colinéaires :

uv’ – u’v = 0 et

u, v, w et u’, v’, w’ sont proportionnels


Les 2 équations correspondent à la même droite. Il y a une infinité de solutions (la droite entière).

Une droite (d) d’équation réduite y = ax + b partage le plan en 2 demi-plans. Les coordonnées de tous les points (x ; y) situés au dessus de (d) vérifient l’inéquation y > ax + b. Les coordonnées de tous les points (x ; y) situés en dessous de (d) vérifient l’inéquation y < ax + b.

Système d’inéquations linéaires à 2 inconnues

Résoudre le système (S) revient à trouver l’ensemble des points du plan qui vérifient les 3 inéquations à la fois. Chaque inéquation a pour solution un demi-plan.

La solution du système (S) est l’intersection des demi-plans solution.

exemple :

La zone qui vérifie (x ; y) au dessus de (d) et (x ; y) en dessous de (d’) correspond à l’intersection des zones verte et mauve, c’est-à-dire la zone bleue.

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