REVIZ.fr – La fonction exponentielle

Niveau : terminale
Matière : mathématiques (analyse)

On appelle fonction exponentielle la bijection réciproque de la fonction ln.
Elle est notée exp.

Pour x , pour y ] 0 ; + [ :    y = exp(x) x = ln(y)

Conséquences

exp est définie sur .
Pour tout x , exp(x) > 0

exp(0) = 1       exp(1) = e       exp(-1) =

Pour tout réel x :    ln (exp x) = x
Pour tout réel x de ] 0 ; + [ :    exp(ln x) = x

La fonction exp est strictement croissante sur .

Propriétés algébriques

Pour tous réels a et b :

exp(a+b) = exp(a) x exp(b)

exp(-a) =       exp (a-b) =

Pour n , exp (n.a) = [exp(a)]n

Cexp est l’image de Cln par la symétrie d’axe (d) d’équation y = x.

On convient que pour tout réel x,

exp(x) = ex

Avec cette notation, les expressions précédentes deviennent :

Pour x , pour y ] 0 ; + [ :

y = ex x = ln y

Pour x , ex > 0

e0 = 1

Pour tout x , ln (ex) = x
Pour tout x ] 0 ; + [, eln x = x

Pour tous réels a et b:

ea+b = ea.eb       e-a =       ea-b =

Pour n , ena = ( ea )n

Résolution d’inéquation

a < b ea < eb

La fonction exp est dérivable sur et sa dérivée est :

(ex)’ = ex

Limites remarquables

= 1       ex = 0 ex = +

Variations

Autres limites intéressantes

= + x.e-x = 0       ex = 0

La fonction exponentielle est parfois composée avec une autre fonction.
On note exp o u = eu

Dérivée

(eu)’ = u’.eu

Primitive

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle J, u’.eu a pour primitives sur J les fonctionc eu + k, avec k .

Pour tout réel a strictement positif et b réel :

ab = eb.ln a

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