REVIZ.fr – La fonction logarithme

Niveau : terminale
Matière : mathématiques (analyse)

La fonction logarithme népérien est définie sur ] 0 ; + [.
Elle est dérivable sur ] 0 ; + [.

ln'(x) = et ln 1 = 0

C’est la primitive de x , sur ] 0 ; + [ qui s’annule en 1.

Elle est strictement croissante :

a < b ln a < ln b

Théorème

Pour tous réels a et b de ] 0 ; + [,

ln (ab) = ln a + ln b

Conséquences

ln = – ln a       ln = ln a – ln b

Pour tout réel a de ] 0 ; + [ et pour n ,

ln an = n ln a       ln = ln a

ln est strictement croissante sur ] 0 ; + [.

Limites remarquables

Losrque x tend vers a : ln x = ln a

Losrque x tend vers + : ln x = +

Losrque x tend vers 0 : ln x = –

Tableau de variation

Remarques

La fonction ln est une bijection de ] 0 ; + [ sur .
L’équation ln x = 1 admet donc une solution unique dans ] 0 ; + [ : c’est e.

ln e = 1

e est appelé la base des logarithmes népériens.
Pour tout entier relatif n,

ln en = n

.

Soit la fonction ln u, où u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I.
ln u est définie et dérivable sur I :

(ln u )’ =

Primitive

Soit u une fonction non nulle et dérivable sur un intervalle sur un intervalle I :
a pour primitive sur I :

  • ln u si u > 0 sur I
  • ln (-u) si u < 0 sur I

On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log définie sur ] 0 ; + [ par :

log x =

Tableau de variation

La fonction log est strictement croissante.

Remarques

log 10 = 1
Pour n : log 10n = n.log 10 = n

Les exercices corrigés sont disponibles sur le site Reviz.fr

REVIZ.fr – La fonction logarithme
Retour en haut