REVIZ.fr – Le barycentre

Niveau : terminale
Matière : mathématiques (algèbre – géométrie)

Soit un système de n points pondérés (Ai ; i) avec 1 i n avec i 0
Il existe un seul point G vérifiant

1 1 + 2 2 + … + n n =

Ce point G est le barycentre du système de points pondérés (Ai ; i), 1 i n

La formule s’écrit encore :

i i =

Pour tout point M :
i i = i ( + i)
i i = i + i i

Or, i i = (par définition du barycentre, car i )

donc :

i i = i

i i = 1 + 2 + … + n
i i = ( 1 + 2 + … + n)
i i = ( i)

En résumé, si i , alors i i = ( i)

 Si i =

O étant un point fixé, on obtient (pour tout point M) :
i i = i ( + i)
i i = i + i i

Or, i = 1 + … + n = ( i) = 0 =

donc :

i i = i i

i i est indépendant du point M. C’est un vecteur constant.

Soit k un réel non nul. Le barycentre de points pondérés (Ai; i) (1 i n) est aussi le barycentre du système de points ( Ai ; k i ).

Isobarycentre

Si tous les coefficients i sont égaux et non nuls, le barycentre du système ( Ai ; i ) est appelé isobarycentre G des points Ai. Il est défini par :

1 + 2 + … + n =

Coordonnées du barycentre

Soit ( O ; ; ; ) un repère de l’espace.
On a :

( i ) = i i

On pose i = m (masse totale du système)
L’égalité devient :

= i i

Soient (xi, yi, zi) les coordonnées de Ai dans ( O ; ; ; ).

xG = i xi
yG = i yi
zG = i zi

Associativité du barycentre

Théorème :

On ne change pas le barycentre d’un système de n points pondérés en remplaçant 2 ou plusieurs points par leur barycentre affecté de la somme des coefficients.

Les exercices corrigés sont disponibles sur le site Reviz.fr

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