REVIZ.fr – Le produit scalaire

Niveau : première
Matière : mathématiques (géométrie)

Dans une base orthonormale ( ; ), soient (x ; y) et (x’ ; y’).
Le nombre xx’ + yy’ est appelé produit scalaire des vecteurs et .
On le note :

. = xx’ + yy’

Autres notations

Si et sont non nuls,

. = || || x || || x cos ( ; ) . = 1,2 [ || ||2 + || ||2 – || ||2 ]

Application

. = .

où H est le projeté orthogonal de C sur (AB).

 Si 0 ( et sont de même sens)

            . = AB x AH

 Si ( et sont de sens contraires)

            . = – AB x AH

Dans un repère orthonormal ( O ), (x;y) et (x’;y’) sont orthogonaux si et seulement si :

xx’ + yy’ = 0

Théorème

. = 0

. = .
. ( + ) = . + .
( k ) . = k .

Carré scalaire

2 = . = || ||2

Conséquences

( + )2 = 2 + 2 + 2 .
( )2 = 2 + 2 – 2 .
( + ).( ) = 22

Si (d) est une droite de vecteur directeur et (d’) a pour vecteur directeur

(d) (d’)

Vecteur normal à une droite

Si (d) est une droite de vecteur directeur , alors dire que le vecteur est normal à la droite (d) signifie que

et

Droite dont on connaît un vecteur normal

Si (a;b) est un vecteur normal à une droite (d) alors cette droite a pour équation ax + by + c = 0

Coordonnées d’un vecteur normal à une droite (réciproque)

Si (d) a pour équation ax + by + c = 0 (avec a et b non nuls), alors (a;b) est un vecteur normal à la droite (d).

Prouver que 2 droites sont perpendiculaires

Si (d) a pour équation ax + by + c = 0 et (d’) est telle que a’x + b’y + c’ = 0 alors

(d) (d’) aa’ + bb’ = 0

Si (d) a pour équation réduite y = mx + p et (d’) est telle que y = m’x + p’ alors

(d) (d’) mm’ = -1

Théorème de la médiane

Si O est le milieu de [AB] alors pour tout point M, on a

MA2 + MB2 = 2MO2 +

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