REVIZ.fr – Les fonctions puissances

Niveau : terminale
Matière : mathématiques (analyse)

  • n=0 f0 : x x0 Pour x , x0 = 1
  • n=1 f1 : x x est définie sur
  • n 2 fn : x xn est définie sur

Si n est pair , fn est paire .
Si n est impair , fn est impaire .

Etude sur [0;+ [

Le reste de la courbe (sur ]- ;0]) peut être déduit facilement car la fonction est paire ou impaire selon la valeur de n.

fn est dérivable sur , donc sur [0;+ [.

fn‘(x) = n.xn-1

Pour tout x 0, n.xn-1 > 0. La fonction fn est donc croissante sur [0;+ [.

Représentation graphique


Si n est pair, fn est paire.
Si n est impair, fn est impaire.

f-n : x x-n = est définie sur *
Si n est pair , f-n est paire .
Si n est impair , f-n est impaire .

Etude sur [0;+ [

Le reste de la courbe (sur ]- ;0[) peut être déduit facilement car la fonction est paire ou impaire selon la valeur de n.

f-n est dérivable sur *, donc sur ]0;+ [.

f-n‘(x) = – n.x-n-1

Pour tout x 0, f-n‘(x) < 0.
La fonction f-n est donc décroissante sur ]0;+ [.

Représentation graphique

Si n est pair, f-n est paire.
Si n est impair, f-n est impaire.

f est définie sur ] 0 ; + [.

f = x = e ln x

f est également dérivable sur cet intervalle :

f‘(x) = x-1

Cas >0

Lorsque >0, f‘(x) > 0 sur ] 0 ; + [. On en déduit son tableau de variation et sa représentation graphique :

Cas

Lorsque ‘(x) < 0 sur ] 0 ; + [.
La fonction est donc strictement décroissante sur ] 0 ; + [ :

Cas particulier : = avec n *

Pour x [ 0 ; + [,

y = x = yn

Pour x ] 0 ; + [,

x = yn x1/n = y

Par convention, pour x 0 :

x1/n = (u)’ = .u’.u – 1

 Primitives

Pour -1, la fonction x x a pour primitives sur ] 0 ; + [ les fonctions

x x+1 + k       k constant

Pour -1 et u > 0 sur I, la fonction u’.u a pour primitives sur I les fonctions

x u+1 + k       k constant

Croissances comparées

Lorsque > 0 :

= 0             = + x e-x = 0             ln x = 0

Les exercices corrigés sont disponibles sur le site Reviz.fr

REVIZ.fr – Les fonctions puissances
Retour en haut