REVIZ.fr – Les limites usuelles

Niveau : première
Matière : mathématiques (analyse)

x = +       x = –

Limites de la fonction f(x) = x2

x2 = +       x2 = +

Limites de la fonction f(x) = xn

xn = +

xn =

Limites de la fonction f(x) =

= +       = NON DEFINIE

Limites de la fonction f(x) =

= 0+       = 0

Limites de la fonction f(x) =

= 0       = NON DEFINIE

Limites de la fonction f(x) =

= 0+       =

Remarque importante : sinus et cosinus n’ont pas de limites en l’infini car ces deux fonctions oscillent sans cesse entre 1 et -1.

Prenons l’exemple de la fonction .

La droite y = 0 est asymptote horizontale à la courbe en + et – .

La droite x = 0 est asymptote verticale à la courbe en 0.

Cela signifie que la courbe représentative de la fonction inverse se rapproche de ces droites (on dit qu’elle « tend vers ces droites ») mais ne les touche jamais.

Asymptotes de f(x) =

La fonction f(x) = a pour limite + en a+ et – en a.

La droite d’équation x = a est asymptote verticale à la courbe.

La droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe.

Asymptotes de f(x) = + b

La fonction f(x) = + b a pour limite b en + et en – .

La droite d’équation y = b est asymptote horizontale à la courbe. La droite d’équation x = 0 est asymptote verticale à la courbe.

Si f a pour limite L et g a pour limite L’ alors f+g a pour limite L+L’.

 Cas particulier d’une limite infinie

Si lim f = + et lim g = L’ alors lim (f+g) = + .

Si lim f = + et lim g = + alors lim (f+g) = + .

Si lim f = – et lim g = – alors lim (f+g) = – .

Si lim f = + et lim g = – alors lim (f+g) est de forme indéterminée.

Limite d’un produit

 Règle générale

Si f a pour limite L et g a pour limite L’ alors f x g a pour limite LxL’.

 Cas particulier d’une limite infinie ou nulle

Si lim f = + et lim g = L’ alors lim (f x g) = + si L’ > 0 ou – si L’ < 0.

Si lim f = + et lim g = + alors lim (f x g) = + .

Si lim f = – et lim g = – alors lim (f x g) = – .

Si lim f = + et lim g = – alors lim (f x g) = – .

Si lim f = + et lim g = 0 alors lim (f x g) est de forme indéterminée.

Limite d’un quotient

 Règle générale

Si f a pour limite L et g a pour limite L’ 0 alors a pour limite .

 Cas particulier d’une limite infinie ou nulle

Si lim f = + et lim g = L’ alors lim = + si L’ > 0 ou – si L’ < 0.

Si lim f = + et lim g = + alors lim est de forme indéterminée.

Si lim f = – et lim g = – alors lim est de forme indéterminée.

Si lim f = + et lim g = – alors lim est de forme indéterminée.

Si lim f = + et lim g = 0 alors lim + .

Si lim f = L et lim g = + alors lim = 0+ si L’ > 0 ou 0 si L’ < 0.

Si lim f = 0+ et lim g = – alors lim = 0.

Si lim f = 0 et lim g = 0 alors lim est de forme indéterminée.

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