REVIZ.fr – Les nombres complexes

Niveau : terminale
Matière : mathématiques (algèbre – géométrie)

Soit z = a + bi un complexe. Le conjugué de z est le complexe

= a – bi

Remarque : le conjugué de est z. On dit que z et sont des complexes conjugués.

Propriétés

Soient z = a + bi et = a – bi

Re(z) =       Im(z) =

z réel z =
z imaginaire pur z = –

Conjugués et opérations

Pour tous complexes z et ,

= +       = .

 Conséquences

= –
=

Si z 0 :

=             =             = ( )n

Le plan est muni d’un repère orthonormal (O; ; ). Soit z = a + bi (avec a et b réels). Le point M de coordonnées (a;b) est appelé point image de z.

z est l’affixe de M. On note M(z).

Soit z = 3 – 2i Son point image a pour coordonnées (3;-2).

L’axe (O ) est appelé axe réel.

L’axe (O ) est appelé axe imaginaire.
Le plan muni du repère (O; ; ) est appelé plan complexe.

Le vecteur (a,b) est appelé vecteur image de z. z est l’affixe de . On note (z).

Si M est le point image de z, alors le vecteur est le vecteur image de z.

Propriétés

Soient z et z’ deux complexes. M est le point image de z et M’ est le point image de z’.

M = M’ z = z’

 Complexe conjugué et opposé

Soit z de point image M.
M’ est le point image de . M » est le point image de -z.
M(z) et M'(z) sont symétriques par rapport à la droite (O; ).
M(z) et M »(z) sont symétriques par rapport à O.

 Vecteur image de la somme de 2 complexes

Si z a pour vecteur image , si z’ a pour vecteur image , alors z + z’ a pour vecteur image + .

Si z a pour point image M, si z’ a pour point image M’, alors z + z’ a pour point image S tel que = +

 Vecteur image de kz

Soit k un réel.
Si z a pour vecteur image alors kz a pour vecteur image k .
A retenir : -z a pour vecteur image – Si z a pour point image M alors kz a pour point image N tel que :

= k

Si k 0, n est l’image de M par l’homothétie de centre O et de rapport k.

Propriétés des affixes

 Affixe d’un vecteur

Soient les points A d’affixe zA et B d’affixe zB

= a pour affixe zB – zA

 Affixe du milieu de [AB]

Soit I le milieu de [AB].

= ( + ) I a pour affixe zI= (zA + zB)

 Affixe du barycentre d’un système de points

Soit G le barycentre du système de points (Ai; i) dont la somme des i est non nulle.
Soit zi l’affixe de Ai et m la somme des coefficient i.
L’affixe de G est :

zG= izi

Soit a un réel. On souhaite résoudre z2 = a

  • Si a est positif : z2 = a z = ou z = –
  • Si a est négatif : z2 = a z = i ou z = -i

Résolution dans de az2 + bz + c = 0 (a, b, c étant des réels et a 0)

Tout comme dans , on calcule le déterminant :

= b2 – 4ac

 Si > 0

L’équation admet 2 solutions réelles :

z1 =       et       z2 =

 Si = 0

L’équation admet 1 solution double réelle :

z1 =

 Si < 0

L’équation admet 2 solutions complexes :

z1 =       et       z2 =

Dans tous les cas, on a z1 + z2 = et z1z2 =

Soit z = a + bi un complexe (a et b réels).
On appelle module de z le réel positif, noté |z| défini par

|z| =

Remarque : si z = a (réel), le module de z est la valeur absolue de a : |z| = |a|

 Interprétation géométrique

Le plan est muni d’un repère orthonormal (O ).
Soit le vecteur image de z. Soit M le point image de z.

      |z| = || || = OM

 Propriétés

Pour tout complexe z, |z|2 = z
Soient les points A d’affixe zA et B d’affixe zB.
a pour affixe zB – zA donc :

| zB – zA | = AB

Pour tout complexe z :

|z| = 0 z = 0

 Inegalité triangulaire

Soient z et z’ deux complexes quelconques. Soit M le point image de z et M’ celui de z’. Soit S le point image de z + z’.

On a OS OM + OM’ donc :

| z + z’ | |z| + |z’|

 Module d’un produit, d’un quotient, d’une puissance

Pour tous complexes z et z’ : |zz’| = |z|.|z’|
Si z 0 :

=             |zn| = |z|n

Argument d’un complexe non nul

 Définition

Le plan est muni d’un repère (O ). Soit z un complexe non nul, de point image M.

On appelle argument de z une mesure en radians de l’angle ( ).


On note : arg z = ( , )       (2 )

(2 ) se lit « modulo 2  » et peut-être remplacé par + 2k , avec k entier.

 Propriétés des arguments

Soit z un complexe non nul.

z réel arg z = k , k z +* arg z = 0       (2 ) z -* arg z =       (2 ) z imaginaire pur arg z = + k       k

arg (-z) = arg z +       (2 ) arg ( ) = arg z       (2 )

Pour tous complexes non nuls z et z’:

arg zz’ = arg z + arg z’ (2 ) arg = – arg z’ (2 )       arg = arg z – arg z’ (2 )

Pour tout n , arg zn = n arg z       (2 )

Soient a et b deux complexes avec a b. Soient A le point image de a et B celui de B.

(b-a) a pour vecteur image .

Soit z un complexe différent de a et b, de point image M.

Théorème : tout complexe non nul z, de module r et d’argument , s’écrit sous la forme :

L’écriture z = r (cos + i.sin ) est la forme trigonométrique de z avec r = |z| module de z et = arg z l’argument de z.
Cette écriture est valable uniquement si r est un réel positif.

Soit z un complexe non nul de forme trigonométrique z = r (cos + i.sin ).
La forme algébrique de z est z = a + bi avec :

Inversement, si on connaît la forme algébrique de z = a + bi, on peut retrouver la forme trigonométrique avec :

Pour tout réel , pour tout entier relatif n :

Un complexe non nul de module r et d’argument s’écrit sous la forme

Cette écriture s’appelle la notation exponentielle de z. Cette forme est bien adaptée aux calculs de produits, quotients et puissances.

Soient z et z’ deux complexes non nuls.

z = r ei       et       z’ = r’ ei

Pour tout entier relatif n, zn = rn ei n

La transformation géométrique associée à la fonction f(z) = z + z0, définie de dans est une translation de vecteur (z0).

Soit M d’affixe z et M’ d’affixe z’ = ei z.


Le point M’ d’affixe z’ = ei z est l’image du point M d’affixe z par la rotation de centre O et d’angle .

Les exercices corrigés sont disponibles sur le site Reviz.fr

REVIZ.fr – Les nombres complexes
Retour en haut