REVIZ.fr – Opérations et composition de fonctions

Niveau : première
Matière : mathématiques (analyse)

f + g :

f + g est appelée la somme de f et g. Si f et g sont croissantes sur J, alors f + g est croissante sur J.

Si f et g sont décroissantes sur J, alors f + g est décroissante sur J.

Produit

f x g :

Soit k un réel et f une fonction définie et monotone sur un intervalle J (= elle ne change pas de sens de variation). Si k > 0, kf a le même sens de variation que f.

Si k < 0, kf a le sens de variation opposé à celui de f.

Inverse

Soit f une fonction définie de Df sur , et qui a x associe f(x).
La fonction inverse de f est :

:

Quotient

Soient u et v deux fonctions définies respectivement sur Du et Dv.
La fonction quotient de u et v est :

:

u suivie de v est la composée des fonctions u et v. On la note v o u.

(v o u) (x) = v [ u(x) ]

On calcule d’abord u(x) puis on applique la fonction v au résultat obtenu.

Attention :

  • Ce n’est pas une multiplication de fonctions !
  • u o v est définie pour tout x Du tel que u(x) Dv

Décomposer

Décomposer une fonction f, c’est trouver 2 fonctions u et v telles que f = u o v.

Par exemple, on peut décomposer f(x) = (3x + 1)2 en u(x) = 3x + 1 et v(x) = x2. Pour obtenir, f(x), on calcule d’abord u(x) = 3x + 1 puis met le résultat obtenu au carré (fonction v).

Variations

Si :

  • u est croissante sur I, et pour tout x de I, u(x) J
  • v est croissante sur J

alors

f = v o u est croissante sur I

Si :

  • u est décroissante sur I, et pour tout x de I, u(x) J
  • v est décroissante sur J

alors

f = v o u est croissante sur I

Si :

  • u est croissante sur I, et pour tout x de I, u(x) J
  • v est décroissante sur J

alors

f = v o u est décroissante sur I

La courbe représentative de g est l’image de la courbe représentative de f par la translation de vecteur k .

g(x) = f(x + k)

La courbe représentative de g est l’image de la courbe représentative de f par la translation de vecteur – k .

g(x) = – f(x)

La courbe représentative de g est l’image de la courbe représentative de f par la réflexion d’axe O .

g(x) = |f(x)|

Lorsque f(x) 0 alors g(x) = f(x)

Lorsque f(x) 0 alors g(x) = – f(x)

g(x) = f(-x)

La courbe représentative de g est l’image de la courbe représentative de f par la réflexion d’axe O .

Les exercices corrigés sont disponibles sur le site Reviz.fr

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