REVIZ.fr – Rappels sur les fonctions

Niveau : première
Matière : mathématiques (analyse)

Le graphique ci-dessous est la représentation graphique de la droite (d) d’équation y = – x + 2 .
Sur ce tracé, on peut voir que les points (2;0) et (1;1) appartiennent à la droite (d). 2 est l’image de 0 par la fonction y = -x + 2. 3 est l’antécédent de -1 par la fonction y = -x + 2. y > 0 est vérifié lorsque x < 2.

Lorsque l’on se déplace d’une unité selon l’axe des abcisses, l’ordonnée diminue d’une unité ; le coefficient directeur de la droite est donc -1.

L’ensemble de définition Df d’une fonction f contient les valeurs de x pour lesquelles la fonction f est bien définie, ou bien une partie de ces valeurs.
Par exemple, x2 est définie sur . En revanche, n’existe pas lorsque x = 0, donc D = – {0}.

Parité

f est une fonction paire si, pour tout x Df, -x Df et f(-x) = f(x). La représentation graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

f est une fonction impaire si, pour tout x Df, -x Df et f(-x) = – f(x).

La représentation graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Soit la fonction f, définie de dans , telle que f(x) = ax +b.

  • Si a > 0, f est croissante sur .
  • Si a < 0, f est décroissante sur .
  • Si a = 0, f est constante sur .

Si f est croissante sur un intervalle J, alors pour tous réels a et b de J,

a < b f(a) f(b)

Si f est décroissante sur un intervalle J, alors pour tous réels a et b de J,

a < b f(a) f(b)

Si f est constante sur un intervalle J, alors pour tous réels a et b de J, a < b f(a) = f(b)

Extremums

Sur un intervalle J, f(a) est maximum lorsque pour tout x J, f(x) f(a). On dit alors que f présente un maximum en a, et ce maximum est f(a).

Sur un intervalle J, f(b) est minimum lorsque pour tout x J, f(x) f(b).

On dit alors que f présente un minimum en b, et ce minimum est f(b).

Cas de la fonction valeur absolue

Soit la fonction |x – a|, définie sur .

Théorèmes :

si r 0, |x – a| = r x = a + r ou x = a – r |x – a| r x [ a – r ; a + r ]

Sur le cercle trigonométrique (cercle orienté de rayon 1), x est une mesure en radians de l’angle ( ; ).
Le même angle orienté à plusieurs mesures.

Tout nombre x + k 2 (k ) est une mesure de cet angle.

Fonctions sinus et cosinus

Dans le repère orthonormal ( O ) de la figure précédente, M a pour coordonnées (cos x ; sin x).

cos x = OH est l’abcisse de M.

sin x = OK est l’ordonnée de M.

sin x et cos x sont toujours compris entre -1 et 1.

Les valeurs de cos et sin à retenir

            cos 0 = 1             sin 0 = 0
            cos =             sin =
            cos =             sin =
            cos =             sin =
            cos = 0             sin = 1
            cos = -1             sin = 0
      cos = cos – = 0       sin = sin – = -1

Propriétés de sin et cos

cos2 x + sin2 x = 1

Pour tout x et pour k :

cos (x + k 2 ) = cos x             sin (x + k 2 ) = sin x

cos et sin sont des fonctions périodiques de période 2 , c’est à dire qu’elles se répètent, identiques à elles-mêmes, tous les 2 .

Parité

cos (-x) = cos x donc la fonction cosinus est paire.
sin(-x) = – sin x donc la fonction sinus est impaire.

Représentation graphique de la fonction cos inus

cos est périodique de période 2 et paire ; il suffit donc de l’étudier sur [ 0 ; ] et de déduire le reste.

Représentation graphique de la fonction sinus

sin est périodique de période 2 et impaire ; il suffit de l’étudier sur [ 0 ; ] et de déduire le reste.

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