REVIZ.fr – Rappels sur les vecteurs

Niveau : première
Matière : mathématiques (géométrie)

et sont colinéaires et ont même direction et

= k (k réel) ou = ou =

Milieu d’un segment

Pour tout point M du plan,

+ = 2 I est le milieur de [AB]

On note I = m[AB].

Vecteurs et droites

Si est vecteur directeur de la droite (d), alors k (k réel) l’est aussi.

Si a et b sont non nuls, ax + by + c = 0 est l’équation d’une droite de vecteur directeur .

y = ax + b est l’équation réduite d’une droite de vecteur directeur .

y = b est l’équation réduite d’une droite de vecteur directeur .

x = a est l’équation réduite d’une droite de vecteur directeur .

Base du plan

Si deux vecteurs et ne sont pas colinéaires, ( , ) est une base du plan.
Pour tout vecteur du plan, il existe un unique couple (x;y) tel que

= x + y

x et y sont les coordonnées de dans la base ( , ).

Si O est un point du plan, (O; ; ) est un repère du plan.

Si a + b 0, il existe un unique point G qui vérifie

a + b =

On dit que G est le barycentre des points A et B affectés des coefficients a et b.

Propriétés

Si G est le barycentre des points A et B affectés des coefficients a et b, on a les relations :

=            =

A, B et C sont alignés. Si a = b, G est le milieu de [AB]. On parle alors d’isobarycentre des points A et B.

Si G est le barycentre des points (A;a) et (B;b), il est aussi le barycentre de (A;ka) et (B;kb), avec k réel non nul.

Propriété fondamentale

Si G est le barycentre des points (A;a) et (B;b), alors pour tout point M du plan, on a :

a + b = (a+b)

Si G est isobarycentre de A et B, on a donc + = 2

Si M = O (origine du repère du plan), on a a + b = (a+b) .

Cela nous permet de connaître les coordonnées de G : xG =            yG =

Les coordonnées de G sont les moyennes pondérées des coordonnées de A et B.

Si a + b + c 0, il existe un unique point G qui vérifie

a + b + c =

On dit que G est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients a, b et c.

Propriétés

Si G est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients a, b et c, on a la relation

= +

Si a=b=c, G est l’isobarycentre des points A, B et C. G est alors le centre de gravité du triangle ABC.

Si G est le barycentre des points (A;a), (B;b) et (C;c), il est aussi le barycentre de (A;ka), (B;kb) et (C;kc), avec k réel non nul.

Propriété fondamentale

Si G est le barycentre des points (A;a), (B;b) et (C;c), alors pour tout point M du plan, on a :

a + b + c = (a+b+c)

Avec M = O (origine du repère du plan), on peut calculer les coordonnées de G :

xG =            yG =

  • (d) et (d’) sont deux droites
  • A, B et C sont 3 points alignés
  • A’, B’ et C’ sont leurs projetés sur (d’), selon la direction de (d)

Si = k alors = k

Réciproque

S’il existe un réel k tel que = k et = k alors les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont parallèles.

Les exercices corrigés sont disponibles sur le site Reviz.fr

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