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Soit une propriété dépendante d’un entier naturel n.
On la note Pn.
Pn est telle que :
Pn est vraie pour n = n0
Pn est héréditaire, ce qui signifie que si la propriété est vraie pour n = p (p n0) alors elle est vraie pour n = p + 1.

On peut alors conclure que la propriété pn est vraie pour tout entier n, n n0.

Définition d’une suite récurrente

Soit f une fonction définie sur un intervelle I tel que f(I) I.
Soit a I.
En posant :

u0 = a
un+1 = f(un)

on définit une suite.

On a pour tout n de , un I (démontrable par récurrence).

Sens de variation d’une suite récurrente

Si f est strictement décroissante sur I
Si un < un+1 alors f(un) > f(un+1)

soit encore un+1 > un+2

La suite n’est pas monotone.

Si f est strictement croissante sur I

Si un < un+1 alors f(un) < f(un+1)

soit encore un+1 < un+2

Si un > un+1 alors un+1 > un+2
La suite est monotone .

  • Elle est strictement croissante si u0 < u1
  • Elle est strictement décroissante si u0 > u1

Limite d’une suite récurrente

un+1 = f(un)
Si la suite (un) a pour limite L et si f(x) = f(L) alors

un+1 = L    et    un+1 = f(L)
donc L = f(L)

On dit que L est un point fixe de la fonction f.

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Exercices corrigés

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